site2wouf.fr : La tournée du jour

Un tacle de Patrick Vieira n'est pas une truite en chocolat.

Vincent Delerm

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718192021222324abcABCDEFGHJKLMPQRN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue du Puits⑬ venelle du ChatⒶ Carrefour des Tilleulsa la poste
② chemin des Vignes⑭ allée des TilleulsⒷ Place des Tanneursb la bibliothèque
③ quai aux Fleurs⑮ rue des ÉcolesⒸ Place de la Fontainec la boulangerie
④ rue Pasteur⑯ rue NeuveⒹ Place de l'Église
⑤ rue Verte⑰ rue de l'ÉgliseⒺ Rond-point du Stade
⑥ rue des Jardins⑱ chemin CreuxⒻ Carrefour du Lavoir
⑦ rue Basse⑲ rue du StadeⒼ Carrefour de l'Hôpital
⑧ rue Haute⑳ rue du MoulinⒽ Carrefour de la Mairie
⑨ rue des Lilas㉑ chemin de RondeⒿ Carrefour des Quatre-Chemins
⑩ passage du Marché㉒ rue de la PosteⓀ Coin du Lavoir
⑪ chemin du Lavoir㉓ impasse du PuitsⓁ Rond-point de la Poste
⑫ rue de la Mairie㉔ rue du FourⓂ Place du Marché
Ⓟ Rond-point des Vaches
Ⓠ Place Sainte-Croix
Ⓡ Fontaine Notre-Dame
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415161718192021222324abcABCDEFGHJKLMPQRN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMPQR
Nombre de rues422264544242421
Paritépairpairpairpairpairpairimpairpairpairpairpairpairpairpairimpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 48 = 2 × 24, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : G, R — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en P, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, G et R : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en P et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de G à R. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de G :
  1. Il part de Carrefour de l'Hôpital (G), prend la rue Haute ⑧ vers le nord et atteint Place de l'Église (D).
  2. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑦, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (E).
  3. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ③, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (A).
  4. Il tourne à droite dans la rue du Puits ①, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs (B).
  5. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑤, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade (E).
  6. Il tourne à droite dans la rue des Lilas ⑨, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (G).
  7. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑭, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (H).
  8. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ⑫, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir (F).
  9. Il continue tout droit dans la rue Pasteur ④, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (A).
  10. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ②, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (C).
  11. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑥, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Lavoir (F).
  12. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑬, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (J).
  13. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑰, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (H).
  14. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑱, vers le sud, jusqu'à Rond-point des Vaches (P).
  15. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑲, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (J).
  16. Il prend dans la rue du Moulin ⑳, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix (Q).
  17. Il tourne à gauche dans la rue du Four ㉔, vers l'est, jusqu'à Rond-point des Vaches (P).
  18. Il continue tout droit dans la rue Neuve ⑯, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (G).
  19. Il prend dans la rue des Écoles ⑮, vers le sud, jusqu'à Place du Marché (M).
  20. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ㉒, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste (L).
  21. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑪, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Stade (E).
  22. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑩, vers le sud-est, jusqu'à Coin du Lavoir (K).
  23. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ㉑, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (L).
  24. Il tourne à gauche dans l'impasse du Puits ㉓, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (R).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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