site2wouf.fr : La tournée du jour

Deux choses sont infinies : l'univers et la bêtise humaine ; en ce qui concerne l'univers, je n'en ai pas acquis la certitude absolue.

Albert Einstein

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718192021222324abcdABCDEFGHJKLMPQRN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① allée des Peupliers⑬ rue du FourⒶ Place de la Fontainea la poste
② quai aux Fleurs⑭ rue PasteurⒷ Carrefour de l'Hôpitalb le stade
③ rue du Stade⑮ rue HauteⒸ Place des Tanneursc le gymnase
④ chemin de Ronde⑯ rue du PuitsⒹ Rond-point du Staded la pharmacie
⑤ chemin des Vignes⑰ avenue de la GareⒺ Rond-point de la Gare
⑥ rue de l'Église⑱ rue BasseⒻ Carrefour des Tilleuls
⑦ passage du Marché⑲ rue NeuveⒼ Fontaine Notre-Dame
⑧ rue des Jardins⑳ rue VerteⒽ Carrefour des Quatre-Chemins
⑨ chemin Creux㉑ venelle du ChatⒿ Carrefour du Lavoir
⑩ rue de la Mairie㉒ chemin du LavoirⓀ Place du Vieux-Puits
⑪ rue du Pont㉓ impasse du PuitsⓁ Carrefour du Moulin
⑫ rue de la Poste㉔ rue des LilasⓂ Rond-point de la Poste
Ⓟ Placette des Ormes
Ⓠ Rond-point des Vaches
Ⓡ Place du Marché
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415161718192021222324abcdABCDEFGHJKLMPQRN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMPQR
Nombre de rues242364246234231
Paritépairpairpairimpairpairpairpairpairpairpairimpairpairpairimpairimpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 48 = 2 × 24, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : D, L, Q, R — il y en a 4.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 2 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Non. Le quartier compte 4 carrefours impairs (D, L, Q, R).
Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.
4.
Non plus. Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.
C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.
Combien de rues en double, au minimum ? Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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