site2wouf.fr : La tournée du jour

La théorie, c'est quand on sait tout et que rien ne fonctionne. La pratique, c'est quand tout fonctionne et que personne ne sait pourquoi. Ici, nous avons réuni théorie et pratique : Rien ne fonctionne... et personne ne sait pourquoi !

Albert Einstein

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112abcdABCDEFGN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① sentier des Prés⑦ rue du PontⒶ Rond-point du Ponta la poste
② rue des Écoles⑧ rue BasseⒷ Coin du Lavoirb le cimetière
③ avenue de la Gare⑨ rue des JardinsⒸ Rond-point des Vachesc le gymnase
④ rue du Moulin⑩ rue NeuveⒹ Rond-point du Staded la mairie
⑤ rue du Four⑪ quai aux FleursⒺ Carrefour de la Mairie
⑥ boulevard du Parc⑫ rue PasteurⒻ Fontaine Notre-Dame
Ⓖ Carrefour des Quatre-Chemins
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112abcdABCDEFGN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFG
Nombre de rues4244424
Paritépairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 × 12, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 12 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il sort de la poste et remonte la rue Pasteur ⑫ vers l'ouest jusqu'à Fontaine Notre-Dame (F).
  2. Il tourne à droite dans la rue du Pont ⑦, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (C).
  3. Il continue tout droit dans la rue des Écoles ②, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Pont (A).
  4. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ①, vers l'est, jusqu'à Coin du Lavoir (B).
  5. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑤, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie (E).
  6. Il prend dans la rue du Moulin ④, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (A).
  7. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ③, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade (D).
  8. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (C).
  9. Il tourne à gauche dans la rue Basse ⑧, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (G).
  10. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑩, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Stade (D).
  11. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ⑨, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (E).
  12. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑪, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (G).
  13. Il reprend alors la rue Pasteur ⑫, dont il lui restait la seconde moitié, et regagne la poste : toutes les rues ont été faites une fois et une seule.
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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