site2wouf.fr : La tournée du jour

Je suis content de m'être procuré le dictionnaire des synonymes, je suis satisfait d'avoir acquis le glossaire des équivalences. Mais je suis aussi réjouis de m'être offert le lexique des similitudes

Philippe Geluck. (Sur Mon tshirt!)

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213abcABCDEFGHN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① venelle du Chat⑧ rue des ÉcolesⒶ Place du Vieux-Puitsa la poste
② quai aux Fleurs⑨ rue du StadeⒷ Carrefour Saint-Rochb la gendarmerie
③ rue Pasteur⑩ rue BasseⒸ Rond-point du Stadec la boulangerie
④ rue du Puits⑪ allée des PeupliersⒹ Carrefour du Moulin
⑤ rue de l'Église⑫ rue HauteⒺ Rond-point de la Poste
⑥ rue Verte⑬ rue du FourⒻ Place de l'Église
⑦ chemin des VignesⒼ Carrefour du Lavoir
Ⓗ Place des Tanneurs
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213abcABCDEFGHN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGH
Nombre de rues24444242
Paritépairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 26 = 2 × 13, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en E, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Rond-point de la Poste (E), prend le quai aux Fleurs ② vers le nord-ouest et atteint Place du Vieux-Puits (A).
  2. Il prend dans la venelle du Chat ①, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (B).
  3. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ③, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Stade (C).
  4. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (D).
  5. Il tourne à droite dans la rue du Puits ④, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (B).
  6. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑤, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (E).
  7. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑨, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin (D).
  8. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑩, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Lavoir (G).
  9. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑦, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade (C).
  10. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ⑧, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (H).
  11. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑬, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (G).
  12. Il continue tout droit dans la rue Haute ⑫, vers l'ouest, jusqu'à Place de l'Église (F).
  13. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑪, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Poste (E).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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