site2wouf.fr : La tournée du jour

Il vaut mieux prendre ses désirs pour des réalités que de prendre son slip pour une tasse à café.

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819abcdABCDEFGHJKLN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue du Four⑪ chemin des VignesⒶ Fontaine Notre-Damea la poste
② rue Basse⑫ boulevard du ParcⒷ Place du Vieux-Puitsb le marché couvert
③ rue Pasteur⑬ rue de la MairieⒸ Carrefour des Quatre-Cheminsc l'école
④ rue des Lilas⑭ rue des ÉcolesⒹ Place aux Herbesd le lavoir
⑤ passage du Marché⑮ rue du MoulinⒺ Rond-point des Vaches
⑥ rue du Puits⑯ rue du StadeⒻ Carrefour du Moulin
⑦ chemin du Lavoir⑰ sentier des PrésⒼ Carrefour des Tilleuls
⑧ avenue de la Gare⑱ rue VerteⒽ Carrefour du Lavoir
⑨ rue de l'Église⑲ chemin de RondeⒿ Place de l'Église
⑩ rue HauteⓀ Rond-point du Pont
Ⓛ Place de la Fontaine
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516171819abcdABCDEFGHJKLN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKL
Nombre de rues22424644262
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 38 = 2 × 19, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 4 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il sort de la poste et remonte la rue des Lilas ④ vers le nord jusqu'à Place du Vieux-Puits (B).
  2. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ③, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (F).
  3. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑦, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (C).
  4. Il continue tout droit dans la rue du Four ①, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (A).
  5. Il tourne à droite dans la rue Basse ②, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (G).
  6. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑩, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (E).
  7. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑥, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (C).
  8. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes (D).
  9. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑧, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (F).
  10. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑨, vers l'est, jusqu'à Rond-point des Vaches (E).
  11. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ⑪, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Pont (K).
  12. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ⑬, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (F).
  13. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑫, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (H).
  14. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑯, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont (K).
  15. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ⑮, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (G).
  16. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ⑭, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église (J).
  17. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑱, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (K).
  18. Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ⑲, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (L).
  19. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑰, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (H).
  20. Il reprend alors la rue des Lilas ④, dont il lui restait la seconde moitié, et regagne la poste : toutes les rues ont été faites une fois et une seule.
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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