site2wouf.fr : La tournée du jour

Il était tellement obsédé qu'à la fin il sautait même des repas.

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516abcdABCDEFGHJKLN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① quai aux Fleurs⑨ chemin du LavoirⒶ Carrefour des Tilleulsa la poste
② venelle du Chat⑩ rue du MoulinⒷ Fontaine Notre-Dameb le cimetière
③ rue des Jardins⑪ passage du MarchéⒸ Carrefour du Lavoirc le lavoir
④ rue Basse⑫ impasse du PuitsⒹ Carrefour de la Mairied la salle des fêtes
⑤ rue Haute⑬ allée des TilleulsⒺ Rond-point des Vaches
⑥ chemin des Vignes⑭ rue du PontⒻ Place du Vieux-Puits
⑦ allée des Peupliers⑮ rue de la MairieⒼ Carrefour du Moulin
⑧ rue Neuve⑯ rue du StadeⒽ Rond-point du Pont
Ⓙ Place des Tanneurs
Ⓚ Coin du Lavoir
Ⓛ Placette des Ormes
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516abcdABCDEFGHJKLN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKL
Nombre de rues42434244212
Paritépairpairpairimpairpairpairpairpairpairimpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 32 = 2 × 16, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : D, K — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 10 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, D et K : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste et doit y revenir : son départ et son arrivée sont le même point, et ce point n'est même pas un carrefour. C'est impossible ici.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de D à K. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de D :
  1. Il part de Carrefour de la Mairie (D), prend la rue des Jardins ③ vers le nord et atteint Carrefour des Tilleuls (A).
  2. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ①, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (B).
  3. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑤, vers le sud, jusqu'à Rond-point des Vaches (E).
  4. Il prend dans la rue Basse ④, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (A).
  5. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ②, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (C).
  6. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑥, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (D).
  7. Il continue tout droit dans le chemin du Lavoir ⑨, vers l'est, jusqu'à Rond-point des Vaches (E).
  8. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ⑩, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (J).
  9. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ⑮, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (H).
  10. Il continue tout droit dans la rue Neuve ⑧, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (C).
  11. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ⑦, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (G).
  12. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ⑬, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont (H).
  13. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑯, vers le sud-ouest, jusqu'à Placette des Ormes (L).
  14. Il tourne à droite dans la rue du Pont ⑭, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin (G).
  15. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ⑪, vers l'ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits (F).
  16. Il tourne à gauche dans l'impasse du Puits ⑫, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir (K).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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