site2wouf.fr : La tournée du jour

Le plus beau compliment que je puisse faire à une femme est de lui dire : je suis aussi bien avec toi que si j'étais tout seul.

Jean Yanne

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819202122abcdABCDEFGHJKLMPQRN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① chemin des Vignes⑫ avenue de la GareⒶ Carrefour Saint-Rocha la poste
② rue des Jardins⑬ rue du MoulinⒷ Place du Marchéb le stade
③ quai aux Fleurs⑭ rue de la MairieⒸ Rond-point des Vachesc le cimetière
④ allée des Peupliers⑮ chemin du LavoirⒹ Place aux Herbesd la boulangerie
⑤ allée des Tilleuls⑯ rue NeuveⒺ Rond-point du Stade
⑥ rue des Lilas⑰ rue du PontⒻ Carrefour du Lavoir
⑦ rue Haute⑱ rue PasteurⒼ Placette des Ormes
⑧ venelle du Chat⑲ rue des ÉcolesⒽ Place du Vieux-Puits
⑨ rue Verte⑳ boulevard du ParcⒿ Place de la Fontaine
⑩ chemin Creux㉑ passage du MarchéⓀ Place de l'Église
⑪ sentier des Prés㉒ impasse VerteⓁ Rond-point de la Poste
Ⓜ Carrefour de l'Hôpital
Ⓟ Place Sainte-Croix
Ⓠ Place des Tanneurs
Ⓡ Fontaine Notre-Dame
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516171819202122abcdABCDEFGHJKLMPQRN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMPQR
Nombre de rues523246222263212
Paritéimpairpairimpairpairpairpairpairpairpairpairpairimpairpairimpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 44 = 2 × 22, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, C, M, Q — il y en a 4.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en M, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Le quartier compte 4 carrefours impairs (A, C, M, Q).
Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.
4.
Non plus. Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.
C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.
Combien de rues en double, au minimum ? Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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