site2wouf.fr : La tournée du jour

Un jury est un groupe de douze personnes d'ignorance moyenne, réunies par tirage au sort pour décider qui, de l'accusé ou de la victime, a le meilleur avocat.

Herbert Spencer (Sur un T shirt)

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456abcdABCDEN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue de la Poste④ rue du PontⒶ Coin du Lavoira la poste
② rue de l'Église⑤ rue du FourⒷ Place aux Herbesb la mairie
③ sentier des Prés⑥ rue des JardinsⒸ Place de la Fontainec la gendarmerie
Ⓓ Place du Vieux-Puitsd l'église
Ⓔ Rond-point du Pont
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456abcdABCDEN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDE
Nombre de rues22224
Paritépairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 12 = 2 × 6, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en E, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Rond-point du Pont (E), prend la rue de l'Église ② vers le nord et atteint Coin du Lavoir (A).
  2. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ①, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits (D).
  3. Il prend dans la rue des Jardins ⑥, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
  4. Il tourne à gauche dans la rue du Pont ④, vers le nord-est, jusqu'à Place aux Herbes (B).
  5. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ③, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (C).
  6. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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