site2wouf.fr : La tournée du jour

Ce n'est pas parce que les choses sont difficiles que nous n'osons pas, c'est parce que nous n'osons pas qu'elles sont difficiles.

Sénèque

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213abcdABCDEFGHJN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① chemin des Vignes⑧ avenue de la GareⒶ Place du Vieux-Puitsa la poste
② rue du Pont⑨ rue VerteⒷ Place des Tanneursb le stade
③ rue Neuve⑩ boulevard du ParcⒸ Place de la Fontainec la gendarmerie
④ rue de la Poste⑪ allée des PeupliersⒹ Place du Marchéd l'église
⑤ rue du Moulin⑫ rue du StadeⒺ Carrefour de l'Hôpital
⑥ rue du Puits⑬ chemin du LavoirⒻ Carrefour du Moulin
⑦ rue BasseⒼ Place de l'Église
Ⓗ Carrefour du Lavoir
Ⓙ Fontaine Notre-Dame
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213abcdABCDEFGHJN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJ
Nombre de rues222264242
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 26 = 2 × 13, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en E, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Carrefour de l'Hôpital (E), prend la rue du Pont ② vers le nord-est et atteint Place du Vieux-Puits (A).
  2. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ①, vers le sud-est, jusqu'à Place du Marché (D).
  3. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑥, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (F).
  4. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑦, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (E).
  5. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ④, vers le nord-ouest, jusqu'à Place des Tanneurs (B).
  6. Il prend dans la rue Neuve ③, vers l'est, jusqu'à Place de la Fontaine (C).
  7. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ⑤, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (E).
  8. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑧, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (H).
  9. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ⑪, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (F).
  10. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑩, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église (G).
  11. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑫, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (H).
  12. Il continue tout droit dans le chemin du Lavoir ⑬, vers l'ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (J).
  13. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑨, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (E).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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