site2wouf.fr : La tournée du jour

Si, avec un si, on peut mettre Paris dans une bouteille, on doit pouvoir aussi, avec un si bémol ou naturel, mettre une contrebasse dans un porte-documents ou un hélicon dans un carton à chapeau.

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678abcdeABCDEFN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue Haute⑤ rue du PontⒶ Place du Vieux-Puitsa la poste
② rue Verte⑥ allée des PeupliersⒷ Rond-point du Stadeb la pharmacie
③ passage du Marché⑦ rue BasseⒸ Carrefour du Lavoirc la salle des fêtes
④ rue de l'Église⑧ venelle du ChatⒹ Place de l'Églised la gendarmerie
Ⓔ Rond-point des Vachese le lavoir
Ⓕ Place aux Herbes
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678abcdeABCDEFN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEF
Nombre de rues243232
Paritépairpairimpairpairimpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 × 8, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : C, E — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 8 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, C et E : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste et doit y revenir : son départ et son arrivée sont le même point, et ce point n'est même pas un carrefour. C'est impossible ici.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de C à E. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de C :
  1. Il part de Carrefour du Lavoir (C), prend le passage du Marché ③ vers l'ouest et atteint Rond-point du Stade (B).
  2. Il continue tout droit dans la rue Haute ①, vers l'ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits (A).
  3. Il tourne à gauche dans la rue Verte ②, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (E).
  4. Il tourne à gauche dans la rue du Pont ⑤, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade (B).
  5. Il tourne à droite dans la rue de l'Église ④, vers le sud-est, jusqu'à Place de l'Église (D).
  6. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ⑥, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (C).
  7. Il prend dans la rue Basse ⑦, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes (F).
  8. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (E).

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