site2wouf.fr : La tournée du jour

La vie se passe à désirer ce qu'on n'a pas, à regretter ce qu'on n'a plus.

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789abcdABCDEFGN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue du Moulin⑥ impasse du PuitsⒶ Carrefour des Tilleulsa la poste
② allée des Peupliers⑦ boulevard du ParcⒷ Place des Tanneursb la pharmacie
③ rue des Écoles⑧ rue de l'ÉgliseⒸ Fontaine Notre-Damec le cimetière
④ venelle du Chat⑨ rue BasseⒹ Place de la Fontained l'école
⑤ rue NeuveⒺ Rond-point du Pont
Ⓕ Place du Marché
Ⓖ Place Sainte-Croix
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789abcdABCDEFGN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFG
Nombre de rues3221622
Paritéimpairpairpairimpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 × 9, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, D — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 1 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, A et D : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste et doit y revenir : son départ et son arrivée sont le même point, et ce point n'est même pas un carrefour. C'est impossible ici.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de A à D. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de A :
  1. Il part de Carrefour des Tilleuls (A), prend la rue du Moulin ① vers l'ouest et atteint Place des Tanneurs (B).
  2. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ④, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
  3. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ③, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (A).
  4. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ②, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (C).
  5. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
  6. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑦, vers le sud, jusqu'à Place du Marché (F).
  7. Il tourne à gauche dans la rue Basse ⑨, vers l'est, jusqu'à Place Sainte-Croix (G).
  8. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑧, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
  9. Il continue tout droit dans l'impasse du Puits ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (D).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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