site2wouf.fr : La tournée du jour

La faculté de citer est un substitut commode à l'intelligence.

Somerset Maugham

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516abcABCDEFGHJN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue du Pont⑨ rue des LilasⒶ Carrefour des Quatre-Cheminsa la poste
② avenue de la Gare⑩ chemin des VignesⒷ Carrefour de la Mairieb la salle des fêtes
③ rue du Moulin⑪ rue NeuveⒸ Carrefour des Tilleulsc le cimetière
④ rue Basse⑫ rue des JardinsⒹ Carrefour Saint-Roch
⑤ rue des Écoles⑬ passage du MarchéⒺ Place de la Fontaine
⑥ rue de la Mairie⑭ sentier des PrésⒻ Carrefour du Moulin
⑦ allée des Peupliers⑮ venelle du ChatⒼ Rond-point de la Poste
⑧ allée des Tilleuls⑯ rue de la PosteⒽ Place aux Herbes
Ⓙ Rond-point du Pont
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516abcABCDEFGHJN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJ
Nombre de rues334426424
Paritéimpairimpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 32 = 2 × 16, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, B — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en B, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, A et B : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en B et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de A à B. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de A :
  1. Il part de Carrefour des Quatre-Chemins (A), prend la rue du Pont ① vers l'est et atteint Carrefour de la Mairie (B).
  2. Il tourne à droite dans la rue Basse ④, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (C).
  3. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ②, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (A).
  4. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ③, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (F).
  5. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ⑦, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (C).
  6. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ⑥, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (D).
  7. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑧, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (F).
  8. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ⑩, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (E).
  9. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑪, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (G).
  10. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑫, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin (F).
  11. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑬, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Pont (J).
  12. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑮, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (G).
  13. Il tourne à gauche dans le sentier des Prés ⑭, vers le sud-ouest, jusqu'à Place aux Herbes (H).
  14. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ⑯, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont (J).
  15. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑨, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (D).
  16. Il continue tout droit dans la rue des Écoles ⑤, vers le nord, jusqu'à Carrefour de la Mairie (B).

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