site2wouf.fr : La tournée du jour

Il faut que genèse se passe.

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415abcdABCDEFGHJKLN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① allée des Tilleuls⑨ avenue de la GareⒶ Place aux Herbesa la poste
② rue du Puits⑩ rue du MoulinⒷ Coin du Lavoirb le cimetière
③ allée des Peupliers⑪ boulevard du ParcⒸ Place du Marchéc la gendarmerie
④ venelle du Chat⑫ rue du StadeⒹ Rond-point du Pontd la pharmacie
⑤ rue des Jardins⑬ rue VerteⒺ Rond-point de la Poste
⑥ rue des Lilas⑭ rue PasteurⒻ Place des Tanneurs
⑦ chemin Creux⑮ rue de la PosteⒼ Rond-point du Stade
⑧ rue des ÉcolesⒽ Fontaine Notre-Dame
Ⓙ Place de l'Église
Ⓚ Place Sainte-Croix
Ⓛ Place de la Fontaine
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415abcdABCDEFGHJKLN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKL
Nombre de rues22244262222
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 30 = 2 × 15, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en E, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Rond-point de la Poste (E), prend la rue du Puits ② vers le nord et atteint Place aux Herbes (A).
  2. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ①, vers l'ouest, jusqu'à Place du Marché (C).
  3. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑤, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (E).
  4. Il prend dans la rue des Lilas ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (D).
  5. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ③, vers le nord-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (B).
  6. Il prend dans la venelle du Chat ④, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (F).
  7. Il tourne à gauche dans le chemin Creux ⑦, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Pont (D).
  8. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ⑧, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Stade (G).
  9. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ⑩, vers l'ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (H).
  10. Il tourne à gauche dans la rue Pasteur ⑭, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix (K).
  11. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑫, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade (G).
  12. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑪, vers le sud-est, jusqu'à Place de l'Église (J).
  13. Il prend dans la rue de la Poste ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (L).
  14. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑬, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Stade (G).
  15. Il continue tout droit dans l'avenue de la Gare ⑨, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (E).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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