site2wouf.fr : La tournée du jour

Le cercle n'est qu'une ligne droite revenue à son point de départ.

Frédéric Dard

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718abcdeABCDEFGHJKLMN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① venelle du Chat⑩ impasse des CerisiersⒶ Place du Vieux-Puitsa la poste
② allée des Tilleuls⑪ quai aux FleursⒷ Place aux Herbesb la bibliothèque
③ rue Neuve⑫ rue de l'ÉgliseⒸ Rond-point de la Garec le stade
④ rue de la Mairie⑬ rue des LilasⒹ Place des Tanneursd le marché couvert
⑤ chemin des Vignes⑭ rue de la PosteⒺ Placette des Ormese l'église
⑥ boulevard du Parc⑮ rue BasseⒻ Rond-point des Vaches
⑦ avenue de la Gare⑯ rue des JardinsⒼ Carrefour des Tilleuls
⑧ impasse Sainte-Anne⑰ rue VerteⒽ Place de l'Église
⑨ rue Haute⑱ rue du MoulinⒿ Rond-point du Pont
Ⓚ Rond-point du Stade
Ⓛ Place du Marché
Ⓜ Coin du Lavoir
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415161718abcdeABCDEFGHJKLMN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLM
Nombre de rues226126414422
Paritépairpairpairimpairpairpairpairimpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 36 = 2 × 18, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : D, H — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en C, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, D et H : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en C et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de D à H. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de D :
  1. Il part de Place des Tanneurs (D), prend l'impasse Sainte-Anne ⑧ vers le sud-ouest et atteint Rond-point des Vaches (F).
  2. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ⑤, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (C).
  3. Il continue tout droit dans l'allée des Tilleuls ②, vers le nord-ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits (A).
  4. Il prend dans la venelle du Chat ①, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes (B).
  5. Il tourne à droite dans la rue Neuve ③, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (C).
  6. Il tourne à gauche dans la rue de la Mairie ④, vers l'est, jusqu'à Placette des Ormes (E).
  7. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑨, vers le sud, jusqu'à Rond-point des Vaches (F).
  8. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑪, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (J).
  9. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ⑦, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare (C).
  10. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑥, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (G).
  11. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑬, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont (J).
  12. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ⑯, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade (K).
  13. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑭, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (G).
  14. Il tourne à gauche dans la rue Basse ⑮, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir (M).
  15. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ⑱, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (K).
  16. Il continue tout droit dans la rue Verte ⑰, vers l'est, jusqu'à Place du Marché (L).
  17. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑫, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches (F).
  18. Il tourne à droite dans l'impasse des Cerisiers ⑩, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église (H).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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