site2wouf.fr : La tournée du jour

Ce n'est pas parce que les choses sont difficiles que nous n'osons pas, c'est parce que nous n'osons pas qu'elles sont difficiles.

Sénèque

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516abcdABCDEFGHJKLN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue des Lilas⑨ rue BasseⒶ Carrefour de l'Hôpitala la poste
② avenue de la Gare⑩ chemin du LavoirⒷ Place Sainte-Croixb le stade
③ quai aux Fleurs⑪ rue de la PosteⒸ Fontaine Notre-Damec le marché couvert
④ rue des Jardins⑫ rue PasteurⒹ Carrefour Saint-Rochd la boulangerie
⑤ chemin des Vignes⑬ allée des PeupliersⒺ Place du Vieux-Puits
⑥ rue de l'Église⑭ rue du PontⒻ Carrefour des Quatre-Chemins
⑦ rue du Puits⑮ allée des TilleulsⒼ Rond-point du Pont
⑧ sentier des Prés⑯ chemin de RondeⒽ Place aux Herbes
Ⓙ Rond-point de la Gare
Ⓚ Rond-point de la Poste
Ⓛ Place des Tanneurs
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516abcdABCDEFGHJKLN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKL
Nombre de rues32242442432
Paritéimpairpairpairpairpairpairpairpairpairimpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 32 = 2 × 16, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, K — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 5 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, A et K : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste et doit y revenir : son départ et son arrivée sont le même point, et ce point n'est même pas un carrefour. C'est impossible ici.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de A à K. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de A :
  1. Il part de Carrefour de l'Hôpital (A), prend la rue des Lilas ① vers l'ouest et atteint Place Sainte-Croix (B).
  2. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ④, vers le sud, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (D).
  3. Il prend dans le quai aux Fleurs ③, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (A).
  4. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ②, vers le sud-est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (C).
  5. Il continue tout droit dans le chemin des Vignes ⑤, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (L).
  6. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑯, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (K).
  7. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑬, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (G).
  8. Il continue tout droit dans le sentier des Prés ⑧, vers le nord, jusqu'à Place du Vieux-Puits (E).
  9. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (D).
  10. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑦, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (F).
  11. Il tourne à gauche dans la rue Basse ⑨, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont (G).
  12. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑫, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (J).
  13. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑪, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (F).
  14. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑩, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes (H).
  15. Il prend dans la rue du Pont ⑭, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Gare (J).
  16. Il continue tout droit dans l'allée des Tilleuls ⑮, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste (K).

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