site2wouf.fr : La tournée du jour

La nostalgie, c'est comme les coups de soleil : ça fait pas mal pendant, ça fait mal le soir.

Pierre Desproges. (sur Mon tshirt!)

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910abcABCDEFGN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue du Four⑥ boulevard du ParcⒶ Place de l'Églisea la poste
② rue du Pont⑦ rue de la MairieⒷ Coin du Lavoirb le marché couvert
③ rue Haute⑧ passage du MarchéⒸ Rond-point du Stadec la boulangerie
④ allée des Tilleuls⑨ venelle du ChatⒹ Carrefour Saint-Roch
⑤ quai aux Fleurs⑩ rue du MoulinⒺ Place du Vieux-Puits
Ⓕ Carrefour de l'Hôpital
Ⓖ Place aux Herbes
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910abcABCDEFGN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFG
Nombre de rues2263232
Paritépairpairpairimpairpairimpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 × 10, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : D, F — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 10 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, D et F : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste et doit y revenir : son départ et son arrivée sont le même point, et ce point n'est même pas un carrefour. C'est impossible ici.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de D à F. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de D :
  1. Il part de Carrefour Saint-Roch (D), prend l'allée des Tilleuls ④ vers le nord et atteint Coin du Lavoir (B).
  2. Il tourne à gauche dans la rue Haute ③, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (C).
  3. Il tourne à droite dans la rue du Four ①, vers le nord-ouest, jusqu'à Place de l'Église (A).
  4. Il prend dans la rue du Pont ②, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (E).
  5. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑥, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (C).
  6. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑤, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (D).
  7. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑨, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (F).
  8. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ⑦, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (C).
  9. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ⑧, vers le sud-ouest, jusqu'à Place aux Herbes (G).
  10. Il prend dans la rue du Moulin ⑩, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (F).

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