site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213abcdABCDEFGHJN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① chemin de Ronde⑧ rue du MoulinⒶ Fontaine Notre-Damea la poste
② avenue de la Gare⑨ rue HauteⒷ Place du Marchéb le lavoir
③ rue des Écoles⑩ rue NeuveⒸ Rond-point de la Postec l'église
④ rue Pasteur⑪ rue du StadeⒹ Rond-point du Staded la boulangerie
⑤ passage du Marché⑫ rue de la MairieⒺ Carrefour de la Mairie
⑥ rue du Puits⑬ rue VerteⒻ Carrefour des Quatre-Chemins
⑦ rue de l'ÉgliseⒼ Coin du Lavoir
Ⓗ Placette des Ormes
Ⓙ Rond-point des Vaches
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213abcdABCDEFGHJN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJ
Nombre de rues224344223
Paritépairpairpairimpairpairpairpairpairimpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 26 = 2 × 13, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : D, J — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en D, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, D et J : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en D et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de D à J. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de D :
  1. Il part de Rond-point du Stade (D), prend l'avenue de la Gare ② vers le nord et atteint Fontaine Notre-Dame (A).
  2. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ①, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste (C).
  3. Il continue tout droit dans la rue des Écoles ③, vers l'est, jusqu'à Place du Marché (B).
  4. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ④, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie (E).
  5. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑤, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (C).
  6. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑥, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (F).
  7. Il tourne à droite dans la rue de l'Église ⑦, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (D).
  8. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ⑧, vers le sud-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (G).
  9. Il prend dans la rue de la Mairie ⑫, vers l'est, jusqu'à Rond-point des Vaches (J).
  10. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑪, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (F).
  11. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑨, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (E).
  12. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑩, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes (H).
  13. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑬, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (J).

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