site2wouf.fr : La tournée du jour

Je peux résister à tout, sauf à la tentation.

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819abcdeABCDEFGHJKLMN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue de la Mairie⑪ chemin des VignesⒶ Carrefour des Quatre-Cheminsa la poste
② rue de la Poste⑫ venelle du ChatⒷ Place des Tanneursb le stade
③ chemin Creux⑬ rue du PuitsⒸ Carrefour de l'Hôpitalc la boulangerie
④ rue Neuve⑭ sentier des PrésⒹ Rond-point du Staded la salle des fêtes
⑤ rue des Écoles⑮ rue du PontⒺ Place du Vieux-Puitse l'école
⑥ avenue de la Gare⑯ rue du FourⒻ Coin du Lavoir
⑦ rue de l'Église⑰ boulevard du ParcⒼ Rond-point des Vaches
⑧ rue Verte⑱ rue BasseⒽ Rond-point du Pont
⑨ chemin du Lavoir⑲ quai aux FleursⒿ Placette des Ormes
⑩ rue HauteⓀ Carrefour des Tilleuls
Ⓛ Fontaine Notre-Dame
Ⓜ Place de la Fontaine
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516171819abcdeABCDEFGHJKLMN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLM
Nombre de rues424422642422
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 38 = 2 × 19, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en D, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Rond-point du Stade (D), prend le chemin Creux ③ vers le nord-est et atteint Carrefour des Quatre-Chemins (A).
  2. Il tourne à gauche dans la rue de la Mairie ①, vers l'ouest, jusqu'à Place des Tanneurs (B).
  3. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑤, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Stade (D).
  4. Il continue tout droit dans le chemin du Lavoir ⑨, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  5. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑦, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (C).
  6. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ②, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (A).
  7. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ④, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (E).
  8. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑥, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (C).
  9. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑧, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes (J).
  10. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑬, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  11. Il continue tout droit dans le chemin des Vignes ⑪, vers l'ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (F).
  12. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑫, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (H).
  13. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑯, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (K).
  14. Il tourne à gauche dans le sentier des Prés ⑭, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  15. Il prend dans la rue du Pont ⑮, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (L).
  16. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑱, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (K).
  17. Il continue tout droit dans le quai aux Fleurs ⑲, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (M).
  18. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑰, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (H).
  19. Il continue tout droit dans la rue Haute ⑩, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade (D).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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