site2wouf.fr : La tournée du jour

Rien n'est plus semblable à l'identique que ce qui est pareil à la même chose.

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819abcdABCDEFGHJKLN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① venelle du Chat⑪ chemin de RondeⒶ Carrefour du Moulina la poste
② allée des Tilleuls⑫ rue de la MairieⒷ Place du Marchéb le lavoir
③ rue de l'Église⑬ rue de la PosteⒸ Place aux Herbesc la mairie
④ rue Verte⑭ passage du MarchéⒹ Carrefour du Lavoird l'église
⑤ rue des Lilas⑮ chemin du LavoirⒺ Rond-point du Pont
⑥ impasse du Puits⑯ quai aux FleursⒻ Place de la Fontaine
⑦ sentier des Prés⑰ rue du PuitsⒼ Rond-point des Vaches
⑧ avenue de la Gare⑱ boulevard du ParcⒽ Rond-point de la Poste
⑨ rue du Stade⑲ rue du MoulinⒿ Carrefour des Quatre-Chemins
⑩ rue NeuveⓀ Place Sainte-Croix
Ⓛ Rond-point de la Gare
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516171819abcdABCDEFGHJKLN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKL
Nombre de rues42154244624
Paritépairpairimpairimpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 38 = 2 × 19, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : C, D — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en G, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, C et D : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en G et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de C à D. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de C :
  1. Il part de Place aux Herbes (C), prend l'impasse du Puits ⑥ vers le sud et atteint Carrefour du Lavoir (D).
  2. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ②, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (A).
  3. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ①, vers l'est, jusqu'à Place du Marché (B).
  4. Il tourne à droite dans la rue des Lilas ⑤, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
  5. Il tourne à droite dans la rue de l'Église ③, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (A).
  6. Il prend dans la rue Verte ④, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (J).
  7. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑨, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (D).
  8. Il tourne à gauche dans le sentier des Prés ⑦, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  9. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ⑬, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste (H).
  10. Il continue tout droit dans le quai aux Fleurs ⑯, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (J).
  11. Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ⑪, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
  12. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑩, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (F).
  13. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ⑫, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (J).
  14. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑱, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (L).
  15. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑮, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  16. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ⑭, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix (K).
  17. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ⑲, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare (L).
  18. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑰, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Poste (H).
  19. Il continue tout droit dans l'avenue de la Gare ⑧, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir (D).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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