site2wouf.fr : La tournée du jour

Quand tout semble être contre vous, souvenez-vous que l'avion décolle face au vent, et non avec lui.

Henry Ford

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213abcABCDEFGHJN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① passage du Marché⑧ rue VerteⒶ Rond-point du Ponta la poste
② chemin de Ronde⑨ quai aux FleursⒷ Place Sainte-Croixb le cimetière
③ chemin Creux⑩ rue de la PosteⒸ Place des Tanneursc la boulangerie
④ venelle du Chat⑪ rue du FourⒹ Carrefour des Quatre-Chemins
⑤ rue des Écoles⑫ rue de l'ÉgliseⒺ Rond-point de la Gare
⑥ allée des Tilleuls⑬ rue du PuitsⒻ Carrefour du Lavoir
⑦ chemin du LavoirⒼ Rond-point du Stade
Ⓗ Fontaine Notre-Dame
Ⓙ Place aux Herbes
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213abcABCDEFGHJN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJ
Nombre de rues422344322
Paritépairpairpairimpairpairpairimpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 26 = 2 × 13, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : D, G — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 4 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, D et G : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste et doit y revenir : son départ et son arrivée sont le même point, et ce point n'est même pas un carrefour. C'est impossible ici.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de D à G. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de D :
  1. Il part de Carrefour des Quatre-Chemins (D), prend le chemin Creux ③ vers le nord-ouest et atteint Rond-point du Pont (A).
  2. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ①, vers l'ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix (B).
  3. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑤, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Gare (E).
  4. Il continue tout droit dans la rue Verte ⑧, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (F).
  5. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ④, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (A).
  6. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ②, vers le sud-est, jusqu'à Place des Tanneurs (C).
  7. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑥, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (D).
  8. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑦, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (F).
  9. Il continue tout droit dans la rue du Four ⑪, vers le sud-ouest, jusqu'à Place aux Herbes (J).
  10. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑬, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Stade (G).
  11. Il continue tout droit dans le quai aux Fleurs ⑨, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare (E).
  12. Il prend dans la rue de la Poste ⑩, vers le sud-ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (H).
  13. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑫, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (G).

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