site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819202122abcABCDEFGHJKLMN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue Pasteur⑫ rue des JardinsⒶ Place de la Fontainea la poste
② rue Verte⑬ avenue de la GareⒷ Fontaine Notre-Dameb le cimetière
③ passage du Marché⑭ venelle du ChatⒸ Place du Marchéc la salle des fêtes
④ rue Haute⑮ boulevard du ParcⒹ Rond-point des Vaches
⑤ chemin de Ronde⑯ rue du PuitsⒺ Carrefour du Lavoir
⑥ allée des Peupliers⑰ rue des ÉcolesⒻ Carrefour Saint-Roch
⑦ chemin Creux⑱ chemin du LavoirⒼ Carrefour des Tilleuls
⑧ sentier des Prés⑲ allée des TilleulsⒽ Rond-point de la Poste
⑨ rue du Stade⑳ rue du PontⒿ Rond-point de la Gare
⑩ rue Basse㉑ rue des LilasⓀ Placette des Ormes
⑪ rue du Four㉒ rue de l'ÉgliseⓁ Carrefour des Quatre-Chemins
Ⓜ Carrefour du Moulin
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516171819202122abcABCDEFGHJKLMN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLM
Nombre de rues222664444244
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 44 = 2 × 22, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en M, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Carrefour du Moulin (M), prend l'avenue de la Gare ⑬ vers le nord et atteint Carrefour du Lavoir (E).
  2. Il continue tout droit dans la rue Verte ②, vers le nord-ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (A).
  3. Il tourne à gauche dans la rue Pasteur ①, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (D).
  4. Il tourne à droite dans le passage du Marché ③, vers le nord-ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (B).
  5. Il prend dans la rue Haute ④, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare (J).
  6. Il tourne à gauche dans la rue Basse ⑩, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (D).
  7. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑦, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (E).
  8. Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ⑤, vers l'est, jusqu'à Place du Marché (C).
  9. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑥, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste (H).
  10. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ⑫, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (E).
  11. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑪, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (G).
  12. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑨, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (D).
  13. Il prend dans le sentier des Prés ⑧, vers le sud, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (F).
  14. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑭, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (G).
  15. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ⑰, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (L).
  16. Il prend dans la rue du Puits ⑯, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (F).
  17. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (J).
  18. Il tourne à gauche dans la rue du Pont ⑳, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (L).
  19. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ㉒, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin (M).
  20. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ⑲, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (H).
  21. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑱, vers le sud-ouest, jusqu'à Placette des Ormes (K).
  22. Il continue tout droit dans la rue des Lilas ㉑, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (M).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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