site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910abcdeABCDEFGHN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① quai aux Fleurs⑥ chemin du LavoirⒶ Place du Marchéa la poste
② rue des Écoles⑦ chemin des VignesⒷ Place de l'Égliseb le cimetière
③ rue du Four⑧ rue du PuitsⒸ Place des Tanneursc le gymnase
④ sentier des Prés⑨ rue du MoulinⒹ Carrefour Saint-Rochd la bibliothèque
⑤ rue Basse⑩ rue du PontⒺ Carrefour des Quatre-Cheminse le stade
Ⓕ Place de la Fontaine
Ⓖ Place Sainte-Croix
Ⓗ Place du Vieux-Puits
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910abcdeABCDEFGHN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGH
Nombre de rues22244222
Paritépairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 × 10, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 2 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il sort de la poste et remonte la rue des Écoles ② vers le nord jusqu'à Place du Marché (A).
  2. Il prend dans le quai aux Fleurs ①, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (D).
  3. Il tourne à gauche dans la rue du Four ③, vers le nord-est, jusqu'à Place de l'Église (B).
  4. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ④, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (E).
  5. Il tourne à gauche dans la rue Basse ⑤, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs (C).
  6. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑥, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (F).
  7. Il tourne à droite dans la rue du Pont ⑩, vers l'ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits (H).
  8. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ⑨, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (E).
  9. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑦, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (D).
  10. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑧, vers le sud-ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix (G).
  11. Il reprend alors la rue des Écoles ②, dont il lui restait la seconde moitié, et regagne la poste : toutes les rues ont été faites une fois et une seule.
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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