site2wouf.fr : La tournée du jour

Quand tout semble être contre vous, souvenez-vous que l'avion décolle face au vent, et non avec lui.

Henry Ford

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819abcdABCDEFGHJKLN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue de l'Église⑪ chemin CreuxⒶ Place aux Herbesa la poste
② allée des Tilleuls⑫ quai aux FleursⒷ Rond-point du Stadeb la bibliothèque
③ rue Basse⑬ venelle du ChatⒸ Carrefour de la Mairiec la gendarmerie
④ rue Neuve⑭ rue HauteⒹ Carrefour du Lavoird la boulangerie
⑤ boulevard du Parc⑮ rue de la PosteⒺ Carrefour du Moulin
⑥ passage du Marché⑯ rue du PuitsⒻ Rond-point de la Gare
⑦ rue du Four⑰ rue VerteⒼ Rond-point des Vaches
⑧ avenue de la Gare⑱ rue du MoulinⒽ Place des Tanneurs
⑨ allée des Peupliers⑲ rue des LilasⒿ Fontaine Notre-Dame
⑩ rue PasteurⓀ Carrefour Saint-Roch
Ⓛ Place Sainte-Croix
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516171819abcdABCDEFGHJKLN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKL
Nombre de rues24444462242
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 38 = 2 × 19, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en B, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Rond-point du Stade (B), prend la rue de l'Église ① vers l'est et atteint Place aux Herbes (A).
  2. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ②, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Lavoir (D).
  3. Il tourne à droite dans la rue Neuve ④, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (B).
  4. Il tourne à gauche dans la rue Basse ③, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (C).
  5. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ⑥, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (E).
  6. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑪, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (F).
  7. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑦, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (C).
  8. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ⑧, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  9. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ⑨, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (D).
  10. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑩, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (H).
  11. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ⑱, vers l'ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (J).
  12. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑯, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  13. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ⑫, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (E).
  14. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑬, vers le sud, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (K).
  15. Il prend dans la rue Haute ⑭, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (F).
  16. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ⑮, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix (L).
  17. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑲, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (K).
  18. Il tourne à gauche dans la rue Verte ⑰, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  19. Il continue tout droit dans le boulevard du Parc ⑤, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Stade (B).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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