site2wouf.fr : La tournée du jour

Tout le monde est égal devant le slip.

Jan Bucquoy

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011121314151617abcdABCDEFGHJKLN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue des Jardins⑩ venelle du ChatⒶ Rond-point du Stadea la poste
② rue du Four⑪ rue du MoulinⒷ Place des Tanneursb la bibliothèque
③ allée des Peupliers⑫ chemin de RondeⒸ Place aux Herbesc l'église
④ rue Verte⑬ rue PasteurⒹ Carrefour des Tilleulsd la gendarmerie
⑤ quai aux Fleurs⑭ allée des TilleulsⒺ Place du Marché
⑥ chemin Creux⑮ rue de la PosteⒻ Carrefour Saint-Roch
⑦ rue du Stade⑯ rue HauteⒼ Carrefour du Moulin
⑧ rue des Écoles⑰ sentier des PrésⒽ Place du Vieux-Puits
⑨ rue de l'ÉgliseⒿ Place de la Fontaine
Ⓚ Carrefour du Lavoir
Ⓛ Coin du Lavoir
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1234567891011121314151617abcdABCDEFGHJKLN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKL
Nombre de rues32262362242
Paritéimpairpairpairpairpairimpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 34 = 2 × 17, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, F — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en D, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, A et F : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en D et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de A à F. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de A :
  1. Il part de Rond-point du Stade (A), prend la rue des Jardins ① vers l'ouest et atteint Place des Tanneurs (B).
  2. Il tourne à gauche dans la rue Verte ④, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (D).
  3. Il tourne à gauche dans la rue du Four ②, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade (A).
  4. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ③, vers le sud-est, jusqu'à Place du Marché (E).
  5. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑩, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (G).
  6. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑥, vers le nord, jusqu'à Place aux Herbes (C).
  7. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (D).
  8. Il continue tout droit dans la rue du Stade ⑦, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (F).
  9. Il continue tout droit dans la rue du Moulin ⑪, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits (H).
  10. Il tourne à gauche dans la rue Haute ⑯, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (K).
  11. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑨, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (D).
  12. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ⑧, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (G).
  13. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑬, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (J).
  14. Il tourne à gauche dans le sentier des Prés ⑰, vers l'est, jusqu'à Coin du Lavoir (L).
  15. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ⑮, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (G).
  16. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ⑭, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (K).
  17. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑫, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (F).

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