🏷 Thème : Probabilités

Ce qu'il faut savoir

Une probabilité mesure les chances qu'un événement se produise, sur une échelle qui va de 0 — impossible — à 1 — certain. Tout le chapitre tient dans une formule, mais cette formule n'est valable que sous une condition qu'on oublie presque toujours d'énoncer.

La condition avant la formule : l'équiprobabilité

La première partie de cette phrase n'est pas décorative. Compter deux issues ne donne pas une probabilité de un demi : encore faut-il que ces deux issues soient également probables. Gagner ou perdre au loto fait bien deux issues, et la probabilité de gagner n'est pas de 50 %. Avant de compter, il faut donc s'assurer que les issues sont interchangeables — un dé équilibré, une pièce non truquée, des boules identiques au toucher.

Les repères qui contrôlent un résultat

• Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Un résultat négatif ou supérieur à 1 signale une erreur, sans qu'il soit besoin de chercher où.
• La somme des probabilités de toutes les issues vaut exactement 1.
• L'événement contraire complète : P(A) + P(non A) = 1. C'est souvent le raccourci qui sauve — calculer « au moins un » revient à calculer « aucun » et à retrancher de 1.

Deux épreuves : l'arbre

Dès qu'une expérience comporte deux étapes — deux tirages, deux lancers — on construit un arbre. Deux gestes, et il ne faut pas les intervertir :

Reste à distinguer les deux situations de tirage. Avec remise, on remet l'objet avant le second tirage : le total ne change pas, et les deux étapes sont indépendantes. Sans remise, il y a un objet de moins : le dénominateur diminue d'une unité, et le numérateur aussi si l'on a prélevé un objet favorable. C'est la question à se poser avant de tracer l'arbre, pas après.

Probabilité et fréquence : deux choses différentes

La fréquence se constate : on lance une pièce quarante fois, on compte. La probabilité se calcule avant toute expérience. Obtenir trois piles sur quatre lancers ne rend pas la probabilité de pile égale à trois quarts.

Les deux se rejoignent tout de même, et c'est l'idée la plus profonde du chapitre : plus le nombre d'essais augmente, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique. Sur dix lancers, l'écart peut être considérable ; sur dix mille, il devient minuscule. C'est ce qui justifie qu'on puisse estimer une probabilité inconnue en répétant l'expérience — le principe des simulations en algorithmique.

Les erreurs classiques

• 1.Compter les issues sans vérifier qu'elles sont équiprobables. « Il y a deux possibilités, donc une chance sur deux » est le raisonnement faux le plus répandu. Dans une urne contenant trois boules rouges et deux bleues, il y a deux couleurs mais cinq issues équiprobables : la probabilité de tirer une rouge vaut trois cinquièmes, pas un demi.
• 2.Oublier de diminuer le total sans remise. Au second tirage, s'il n'y a plus que quatre objets, le dénominateur est 4, pas 5. C'est l'erreur la plus coûteuse des exercices d'arbre, et la relecture de l'énoncé — « on remet » ou « on ne remet pas » — la prévient entièrement.
• 3.Additionner le long d'une branche. Sur un même chemin, les probabilités se multiplient ; c'est seulement entre chemins distincts qu'elles s'additionnent. Un contrôle imparable : la somme des probabilités de tous les chemins de l'arbre doit valoir 1.
• 4.Croire que le hasard se souvient. Après cinq rouges à la roulette, le noir n'est pas « dû ». Chaque tirage est indépendant des précédents. C'est l'erreur la plus tenace, et la plus coûteuse en dehors des mathématiques.
• 5.Confondre une fréquence observée avec une probabilité. Un résultat expérimental sur un petit nombre d'essais ne remplace pas un calcul. Inversement, une probabilité théorique ne promet rien sur une série courte.
• 6.Rendre un résultat hors des bornes. Une probabilité supérieure à 1 vient presque toujours d'une addition qui aurait dû être une multiplication, ou d'issues comptées deux fois. Le contrôle est immédiat et coûte deux secondes.

Avant et après

Ce qu'il faut maîtriser avant

• Les fractions : une probabilité est un quotient, qu'il faut souvent simplifier ou comparer.
• La proportionnalité et les pourcentages, pour passer d'une écriture à l'autre.
• Les statistiques et la notion de fréquence, dont la probabilité est le pendant théorique.
• Le dénombrement soigneux des cas, qui relève autant de la méthode que du calcul.

Ce que ça prépare

• Les expériences à plusieurs épreuves et le dénombrement, en combinatoire.
• Les simulations informatiques : reproduire mille lancers en quelques lignes de programme, en algorithmique.
• La lecture critique des risques annoncés dans les médias — sondages, tests médicaux, jeux d'argent.
• Au lycée : les probabilités conditionnelles, l'indépendance et les variables aléatoires. C'est surtout là que l'idée entrevue en 3ème reçoit son nom — la loi des grands nombres. Elle énonce que la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité lorsque le nombre d'essais grandit indéfiniment. Sa portée est double : elle justifie qu'on estime une probabilité inconnue en répétant l'expérience — c'est le chemin inverse de celui du collège, où la probabilité se calcule d'abord — et elle fonde tout ce qui repose sur les grands nombres : les sondages, les assurances, le contrôle qualité, l'estimation par simulation informatique. C'est aussi elle qu'on invoque à tort pour croire qu'une série de tirages malheureux finira par se « compenser »  : elle promet une convergence sur le très long terme, jamais un rattrapage.