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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 839 et 730 par deux multiples consécutifs de 13.
Quel est le plus grand multiple de 3 inférieur à 40 ?
Quel est le plus petit multiple de 8 supérieur à 69 ?
5103 440
962 370
Un aquaculteur élève 110 petits bénitiers et 90 grands bénitiers. Il veut les vendre en lots.
Un engrenage est composé d'une roue A de 32 dents et d'une roue B de 24 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 839 et 730 par deux multiples consécutifs de 13.
On effectue la division euclidienne de 839 par 13 :
On effectue la division euclidienne de 730 par 13 :
Quel est le plus grand multiple de 3 inférieur à 40 ?
On effectue la division euclidienne de 40 par 3 :
Quel est le plus petit multiple de 8 supérieur à 69 ?
On effectue la division euclidienne de 69 par 8 :
| 5103 | 3 | 5103 = 36 × 7 |
| 1701 | 3 | |
| 567 | 3 | |
| 189 | 3 | |
| 63 | 3 | |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 440 | 2 | 440 = 23 × 5 × 11 |
| 220 | 2 | |
| 110 | 2 | |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
5103 440
est irréductible.962 : { 1; 2; 13; 26; 37; 74; 481; 962 }
370 : { 1; 2; 5; 10; 37; 74; 185; 370 }
{ 1; 2; 37; 74 }
PGCD(962;370) = 74
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où962 370
=962:74 370:74
=13 5
Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un aquaculteur élève 110 petits bénitiers et 90 grands bénitiers. Il veut les vendre en lots.
90 = 30 × 3, mais 110 = 30 × 3 + 20 : le reste n'est pas nul, 110 n'est pas divisible par 30.
On ne peut pas constituer 30 lots (tous les petits bénitiers ne seraient pas utilisés).
| 110 | 2 | 110 = 2 × 5 × 11 |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 90 | 2 | 90 = 2 × 32 × 5 |
| 45 | 3 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
{ 1; 2; 5; 10 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 110 et 90 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 110 et 90.
Le plus grand des diviseurs communs est 10.
On pourra constituer au maximum 10 lots.
110 ÷ 10 = 11 et 90 ÷ 10 = 9.
Chaque lot contiendra 11 petits bénitiers et 9 grands bénitiers.
Un engrenage est composé d'une roue A de 32 dents et d'une roue B de 24 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 2 × 32 = 64 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 64 = 24 × 2 + 16 : le reste n'est pas nul, 64 n'est pas un multiple de 24.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 32 | 2 | 32 = 25 |
| 16 | 2 | |
| 8 | 2 | |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
| 24 | 2 | 24 = 23 × 3 |
| 12 | 2 | |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 32 et 24 : la première fois, au PPCM.
32 = 25 et 24 = 23 × 3
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(32;24) = 25 × 3 = 96.
Il passe 96 dents au point de contact, soit 96 ÷ 32 = 3 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 3 tours de la roue A.
96 ÷ 24 = 4.
La roue B aura effectué 4 tours.
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