site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789abcdABCDEFGN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue du Stade⑥ avenue de la GareⒶ Place des Tanneursa la poste
② rue du Puits⑦ quai aux FleursⒷ Place du Marchéb l'école
③ rue de la Poste⑧ rue des ÉcolesⒸ Placette des Ormesc le gymnase
④ rue de la Mairie⑨ rue des JardinsⒹ Carrefour de la Mairied la salle des fêtes
⑤ rue VerteⒺ Place du Vieux-Puits
Ⓕ Place Sainte-Croix
Ⓖ Coin du Lavoir
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789abcdABCDEFGN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFG
Nombre de rues2226222
Paritépairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 × 9, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en D, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Carrefour de la Mairie (D), prend la rue du Stade ① vers le nord-ouest et atteint Place des Tanneurs (A).
  2. Il prend dans la rue du Puits ②, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (E).
  3. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑥, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (D).
  4. Il tourne à gauche dans la rue de la Mairie ④, vers le nord, jusqu'à Place du Marché (B).
  5. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ③, vers l'est, jusqu'à Placette des Ormes (C).
  6. Il prend dans la rue Verte ⑤, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (D).
  7. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ⑦, vers le sud-est, jusqu'à Place Sainte-Croix (F).
  8. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ⑨, vers l'ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (G).
  9. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ⑧, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (D).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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