site2wouf.fr : La tournée du jour

Il vaut mieux qu'il pleuve aujourd'hui qu'un jour où il fait beau !

Pierre Dac (sur mon T shirt!)

Partager :

Facebook X (Twitter) LinkedIn Threads Bluesky Email WhatsApp

🔑 Code de cette fiche :

imprimer LaTeX
ℹ️

Besoin d'aide sur les graphes et le critère d'Euler ?

Consultez la page du catalogue pour retrouver le critère d'Euler et le raisonnement sur la parité des degrés.

📚 Voir les ressources pédagogiques

Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789abcdeABCDEFGN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① impasse du Vieux-Four⑥ chemin de RondeⒶ Placette des Ormesa la poste
② rue de l'Église⑦ rue du PuitsⒷ Place aux Herbesb l'église
③ rue des Lilas⑧ rue des JardinsⒸ Rond-point des Vachesc la gendarmerie
④ passage du Marché⑨ allée des TilleulsⒹ Place du Vieux-Puitsd l'école
⑤ rue de la MairieⒺ Place Sainte-Croixe la boulangerie
Ⓕ Fontaine Notre-Dame
Ⓖ Carrefour Saint-Roch
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
Cahier d'exercices iParcours Maths 6e (Génération 5)

Un cahier d'exercices de 128 pages ...

Le cahier : 5,40 €

Plus de Produits

Publicité

Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789abcdeABCDEFGN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFG
Nombre de rues1262223
Paritéimpairpairpairpairpairpairimpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 × 9, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, G — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 3 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, A et G : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste et doit y revenir : son départ et son arrivée sont le même point, et ce point n'est même pas un carrefour. C'est impossible ici.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de A à G. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de A :
  1. Il part de Placette des Ormes (A), prend l'impasse du Vieux-Four ① vers le sud et atteint Rond-point des Vaches (C).
  2. Il prend dans la rue de l'Église ②, vers le nord-ouest, jusqu'à Place aux Herbes (B).
  3. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ③, vers le sud, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (G).
  4. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑦, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (C).
  5. Il continue tout droit dans le passage du Marché ④, vers l'est, jusqu'à Place du Vieux-Puits (D).
  6. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ⑧, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix (E).
  7. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ⑤, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (C).
  8. Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ⑥, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (F).
  9. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑨, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (G).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

Des centaines de PDF disponibles gratuitement !

Pour accéder à nos ressources gratuites, il vous suffit de sélectionner l'activité que vous désirez dans le formulaire au dessus de l'activité du jour. Ensuite, utilisez l'icône appropriée sous les liens de partage pour télécharger vos PDF.

N'oubliez pas, partager fait vivre les sites ! 😊 Merci de votre soutien !

🎓 Pour les enseignants — l'arrière-plan du problème

Ce problème est un parcours eulérien : on emprunte chaque arête une fois. Ces articles du blog vont au-delà du programme du collège : ils sont là pour préparer la séance, pas pour être donnés aux élèves.

🔗 Liens utiles

// Remarques, codes, note de version etc...

Le générateur de cette activité (html, svg, tex et pdf) est écrit en Python 3 ; les PDF sont composés avec LaTeX et les figures sont vectorielles. Mon travail est sous licence Creative commons.

N'hésitez pas à me contacter si vous detectez la moindre imperfection, ou si vous imaginez une amélioration potentielle !

Open source et gratuité n'empêchent ni les dons ni les remerciements 😉
Un euro ou deux pour m'aider à payer le serveur ? ☕ Payez-moi un café via PayPal