site2wouf.fr : La tournée du jour

Pour trouver une idée nouvelle, lisez un vieux livre.

Wouf (Sur mon T-shirt)

Partager :

Facebook X (Twitter) LinkedIn Threads Bluesky Email WhatsApp

🔑 Code de cette fiche :

imprimer LaTeX
ℹ️

Besoin d'aide sur les graphes et le critère d'Euler ?

Consultez la page du catalogue pour retrouver le critère d'Euler et le raisonnement sur la parité des degrés.

📚 Voir les ressources pédagogiques

Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718192021abcdABCDEFGHJKLMPQN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue du Pont⑫ rue BasseⒶ Place du Marchéa la poste
② rue du Moulin⑬ chemin du LavoirⒷ Place de la Fontaineb l'école
③ avenue de la Gare⑭ rue de l'ÉgliseⒸ Rond-point des Vachesc la gendarmerie
④ rue Verte⑮ rue de la PosteⒹ Rond-point de la Gared le cimetière
⑤ rue du Puits⑯ rue des JardinsⒺ Rond-point du Pont
⑥ rue du Four⑰ allée des PeupliersⒻ Coin du Lavoir
⑦ boulevard du Parc⑱ rue du StadeⒼ Rond-point du Stade
⑧ rue des Lilas⑲ chemin des VignesⒽ Place des Tanneurs
⑨ allée des Tilleuls⑳ quai aux FleursⒿ Fontaine Notre-Dame
⑩ venelle du Chat㉑ impasse des RosesⓀ Carrefour du Lavoir
⑪ rue des ÉcolesⓁ Rond-point de la Poste
Ⓜ Place aux Herbes
Ⓟ Place de l'Église
Ⓠ Carrefour des Quatre-Chemins
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
Cahier d'exercices iParcours Maths 6e (Génération 5)

Un cahier d'exercices de 128 pages ...

Le cahier : 5,40 €

Plus de Produits

Publicité

Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415161718192021abcdABCDEFGHJKLMPQN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMPQ
Nombre de rues22364242244124
Paritépairpairimpairpairpairpairpairpairpairpairpairimpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 42 = 2 × 21, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : C, M — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en E, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, C et M : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en E et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de C à M. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de C :
  1. Il part de Rond-point des Vaches (C), prend la rue du Pont ① vers l'ouest et atteint Place du Marché (A).
  2. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ②, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
  3. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑥, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare (D).
  4. Il continue tout droit dans la rue Verte ④, vers le nord-est, jusqu'à Place de la Fontaine (B).
  5. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ③, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (C).
  6. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑤, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare (D).
  7. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑦, vers l'est, jusqu'à Coin du Lavoir (F).
  8. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑫, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Lavoir (K).
  9. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Place des Tanneurs (H).
  10. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑯, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église (P).
  11. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑲, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (K).
  12. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ⑨, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (D).
  13. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑧, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (G).
  14. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑩, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
  15. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑪, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste (L).
  16. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑬, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (G).
  17. Il tourne à droite dans la rue de l'Église ⑭, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (Q).
  18. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑱, vers le nord-ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (J).
  19. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑰, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste (L).
  20. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑳, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (Q).
  21. Il tourne à droite dans l'impasse des Roses ㉑, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes (M).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

Des centaines de PDF disponibles gratuitement !

Pour accéder à nos ressources gratuites, il vous suffit de sélectionner l'activité que vous désirez dans le formulaire au dessus de l'activité du jour. Ensuite, utilisez l'icône appropriée sous les liens de partage pour télécharger vos PDF.

N'oubliez pas, partager fait vivre les sites ! 😊 Merci de votre soutien !

🎓 Pour les enseignants — l'arrière-plan du problème

Ce problème est un parcours eulérien : on emprunte chaque arête une fois. Ces articles du blog vont au-delà du programme du collège : ils sont là pour préparer la séance, pas pour être donnés aux élèves.

🔗 Liens utiles

// Remarques, codes, note de version etc...

Le générateur de cette activité (html, svg, tex et pdf) est écrit en Python 3 ; les PDF sont composés avec LaTeX et les figures sont vectorielles. Mon travail est sous licence Creative commons.

N'hésitez pas à me contacter si vous detectez la moindre imperfection, ou si vous imaginez une amélioration potentielle !

Open source et gratuité n'empêchent ni les dons ni les remerciements 😉
Un euro ou deux pour m'aider à payer le serveur ? ☕ Payez-moi un café via PayPal