site2wouf.fr : La tournée du jour

Le chemin le plus court d'un point à un autre est la ligne droite, à condition que les deux points soient bien en face l'un de l'autre.

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011121314151617181920212223abcdABCDEFGHJKLMPQRN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue Basse⑬ rue du PuitsⒶ Place de l'Églisea la poste
② rue Verte⑭ rue du StadeⒷ Coin du Lavoirb l'église
③ quai aux Fleurs⑮ chemin du LavoirⒸ Place des Tanneursc la gendarmerie
④ rue Haute⑯ rue du FourⒹ Rond-point du Pontd la salle des fêtes
⑤ rue du Moulin⑰ rue NeuveⒺ Carrefour des Tilleuls
⑥ chemin de Ronde⑱ rue PasteurⒻ Carrefour du Moulin
⑦ rue des Écoles⑲ sentier des PrésⒼ Carrefour de l'Hôpital
⑧ boulevard du Parc⑳ rue des LilasⒽ Rond-point de la Gare
⑨ passage du Marché㉑ chemin CreuxⒿ Fontaine Notre-Dame
⑩ chemin des Vignes㉒ allée des TilleulsⓀ Rond-point de la Poste
⑪ rue de l'Église㉓ avenue de la GareⓁ Carrefour de la Mairie
⑫ rue du PontⓂ Place du Vieux-Puits
Ⓟ Place de la Fontaine
Ⓠ Place aux Herbes
Ⓡ Place du Marché
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1234567891011121314151617181920212223abcdABCDEFGHJKLMPQRN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMPQR
Nombre de rues222444442642222
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 46 = 2 × 23, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 12 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il sort de la poste et remonte la rue du Pont ⑫ vers l'ouest jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (G).
  2. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑬, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (M).
  3. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ㉓, vers l'est, jusqu'à Place de la Fontaine (P).
  4. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑭, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (G).
  5. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ⑩, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (E).
  6. Il tourne à gauche dans la rue Verte ②, vers le nord-ouest, jusqu'à Place de l'Église (A).
  7. Il prend dans la rue Basse ①, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs (C).
  8. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ⑤, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (E).
  9. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ⑨, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin (F).
  10. Il tourne à gauche dans la rue Haute ④, vers le nord, jusqu'à Coin du Lavoir (B).
  11. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ③, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Pont (D).
  12. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (F).
  13. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑪, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste (K).
  14. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑧, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Pont (D).
  15. Il prend dans la rue des Écoles ⑦, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare (H).
  16. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑮, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (J).
  17. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑱, vers le sud, jusqu'à Place du Marché (R).
  18. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ㉒, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (L).
  19. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑰, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare (H).
  20. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑯, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (K).
  21. Il tourne à gauche dans le sentier des Prés ⑲, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (L).
  22. Il tourne à droite dans le chemin Creux ㉑, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes (Q).
  23. Il tourne à droite dans la rue des Lilas ⑳, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Poste (K).
  24. Il reprend alors la rue du Pont ⑫, dont il lui restait la seconde moitié, et regagne la poste : toutes les rues ont été faites une fois et une seule.
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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