site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718192021222324abcdeABCDEFGHJKLMPQN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① quai aux Fleurs⑬ rue de la MairieⒶ Carrefour de la Mairiea la poste
② chemin du Lavoir⑭ passage du MarchéⒷ Fontaine Notre-Dameb le marché couvert
③ rue de l'Église⑮ chemin CreuxⒸ Rond-point de la Postec la gendarmerie
④ allée des Peupliers⑯ rue du FourⒹ Rond-point du Pontd le lavoir
⑤ rue de la Poste⑰ rue du StadeⒺ Rond-point des Vachese la mairie
⑥ chemin de Ronde⑱ rue NeuveⒻ Carrefour des Tilleuls
⑦ rue Basse⑲ avenue de la GareⒼ Rond-point de la Gare
⑧ rue des Jardins⑳ rue VerteⒽ Place des Tanneurs
⑨ rue Pasteur㉑ rue du MoulinⒿ Place du Vieux-Puits
⑩ rue des Écoles㉒ rue HauteⓀ Carrefour du Moulin
⑪ boulevard du Parc㉓ allée des TilleulsⓁ Place du Marché
⑫ chemin des Vignes㉔ venelle du ChatⓂ Coin du Lavoir
Ⓟ Carrefour de l'Hôpital
Ⓠ Place de la Fontaine
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415161718192021222324abcdeABCDEFGHJKLMPQN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMPQ
Nombre de rues42446462242242
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 48 = 2 × 24, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en E, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Rond-point des Vaches (E), prend l'allée des Peupliers ④ vers le nord-est et atteint Carrefour de la Mairie (A).
  2. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ①, vers l'ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (B).
  3. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ⑤, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (E).
  4. Il tourne à gauche dans la rue Pasteur ⑨, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont (D).
  5. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ③, vers le nord, jusqu'à Carrefour de la Mairie (A).
  6. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ②, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (C).
  7. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (D).
  8. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑩, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare (G).
  9. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑧, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (C).
  10. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑦, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (F).
  11. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑭, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (G).
  12. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑰, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (P).
  13. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑯, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (F).
  14. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑮, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs (H).
  15. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ⑲, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (P).
  16. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ㉔, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (Q).
  17. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑱, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare (G).
  18. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑪, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (E).
  19. Il prend dans le chemin des Vignes ⑫, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (J).
  20. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑳, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (K).
  21. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ㉑, vers le sud-est, jusqu'à Place du Marché (L).
  22. Il prend dans l'allée des Tilleuls ㉓, vers l'ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (M).
  23. Il tourne à droite dans la rue Haute ㉒, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin (K).
  24. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ⑬, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (E).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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