site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819202122abcdABCDEFGHJKLMPN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue de la Poste⑫ rue des LilasⒶ Place de l'Églisea la poste
② chemin de Ronde⑬ rue du FourⒷ Fontaine Notre-Dameb la mairie
③ rue de la Mairie⑭ rue de l'ÉgliseⒸ Rond-point de la Garec la bibliothèque
④ boulevard du Parc⑮ rue des JardinsⒹ Rond-point des Vachesd l'église
⑤ avenue de la Gare⑯ chemin des VignesⒺ Carrefour de la Mairie
⑥ allée des Tilleuls⑰ rue des ÉcolesⒻ Carrefour du Lavoir
⑦ rue Haute⑱ rue PasteurⒼ Carrefour Saint-Roch
⑧ rue du Stade⑲ allée des PeupliersⒽ Place du Marché
⑨ sentier des Prés⑳ rue VerteⒿ Carrefour des Quatre-Chemins
⑩ chemin Creux㉑ passage du MarchéⓀ Rond-point du Stade
⑪ rue du Moulin㉒ rue BasseⓁ Place du Vieux-Puits
Ⓜ Rond-point de la Poste
Ⓟ Place de la Fontaine
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516171819202122abcdABCDEFGHJKLMPN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMP
Nombre de rues2244444264242
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 44 = 2 × 22, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 2 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il sort de la poste et remonte le chemin de Ronde ② vers le nord jusqu'à Place de l'Église (A).
  2. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ①, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (D).
  3. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑧, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (E).
  4. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ④, vers le nord, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (B).
  5. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ③, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Gare (C).
  6. Il prend dans l'avenue de la Gare ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (E).
  7. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ⑪, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (J).
  8. Il tourne à gauche dans la rue Haute ⑦, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Gare (C).
  9. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑥, vers le sud, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (G).
  10. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑭, vers l'est, jusqu'à Place du Marché (H).
  11. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ⑰, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (M).
  12. Il prend dans le chemin des Vignes ⑯, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (G).
  13. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (J).
  14. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ⑲, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (M).
  15. Il tourne à droite dans la rue Basse ㉒, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (P).
  16. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑳, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (J).
  17. Il tourne à gauche dans la rue Pasteur ⑱, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (K).
  18. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑩, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches (D).
  19. Il tourne à gauche dans le sentier des Prés ⑨, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (F).
  20. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑫, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (K).
  21. Il tourne à droite dans le passage du Marché ㉑, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (L).
  22. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑬, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (F).
  23. Il reprend alors le chemin de Ronde ②, dont il lui restait la seconde moitié, et regagne la poste : toutes les rues ont été faites une fois et une seule.
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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