site2wouf.fr : La tournée du jour

L'expérience est le nom que chacun donne à ses erreurs.

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819202122232425abcdABCDEFGHJKLMPQRN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① chemin Creux⑭ allée des TilleulsⒶ Place de la Fontainea la poste
② rue de l'Église⑮ rue des JardinsⒷ Rond-point du Stadeb la gendarmerie
③ rue Neuve⑯ sentier des PrésⒸ Place de l'Églisec la bibliothèque
④ chemin de Ronde⑰ rue du MoulinⒹ Rond-point du Pontd le gymnase
⑤ passage du Marché⑱ rue de la PosteⒺ Carrefour de la Mairie
⑥ rue Haute⑲ chemin du LavoirⒻ Carrefour du Lavoir
⑦ rue du Four⑳ venelle du ChatⒼ Place des Tanneurs
⑧ chemin des Vignes㉑ rue BasseⒽ Rond-point de la Gare
⑨ rue des Lilas㉒ rue du PontⒿ Fontaine Notre-Dame
⑩ allée des Peupliers㉓ boulevard du ParcⓀ Carrefour de l'Hôpital
⑪ rue des Écoles㉔ rue VerteⓁ Carrefour des Tilleuls
⑫ rue du Puits㉕ rue de la MairieⓂ Carrefour du Moulin
⑬ avenue de la GareⓅ Placette des Ormes
Ⓠ Place du Marché
Ⓡ Carrefour Saint-Roch
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516171819202122232425abcdABCDEFGHJKLMPQRN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMPQR
Nombre de rues242634242454224
Paritépairpairpairpairimpairpairpairpairpairpairimpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 50 = 2 × 25, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : E, L — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en K, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, E et L : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en K et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de E à L. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de E :
  1. Il part de Carrefour de la Mairie (E), prend la rue de l'Église ② vers le nord et atteint Place de la Fontaine (A).
  2. Il tourne à droite dans le chemin Creux ①, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (B).
  3. Il tourne à droite dans la rue Neuve ③, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église (C).
  4. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (D).
  5. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ④, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade (B).
  6. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑤, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (F).
  7. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑫, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs (G).
  8. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ⑮, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (M).
  9. Il prend dans l'allée des Tilleuls ⑭, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (F).
  10. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑬, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (J).
  11. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑲, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin (M).
  12. Il tourne à droite dans la rue Verte ㉔, vers le sud-ouest, jusqu'à Placette des Ormes (P).
  13. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ⑰, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (H).
  14. Il continue tout droit dans le chemin des Vignes ⑧, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (D).
  15. Il continue tout droit dans la rue du Four ⑦, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (E).
  16. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑪, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (L).
  17. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ⑩, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Pont (D).
  18. Il tourne à droite dans la rue des Lilas ⑨, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (K).
  19. Il tourne à gauche dans le sentier des Prés ⑯, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare (H).
  20. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑱, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (R).
  21. Il tourne à droite dans la rue Basse ㉑, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (K).
  22. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑳, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (L).
  23. Il tourne à gauche dans la rue du Pont ㉒, vers le sud, jusqu'à Place du Marché (Q).
  24. Il tourne à gauche dans la rue de la Mairie ㉕, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (R).
  25. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ㉓, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (L).

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