site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516abcdABCDEFGHJKLN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① chemin de Ronde⑨ allée des PeupliersⒶ Place du Vieux-Puitsa la poste
② rue des Écoles⑩ rue VerteⒷ Placette des Ormesb l'église
③ chemin des Vignes⑪ rue du MoulinⒸ Rond-point de la Garec la bibliothèque
④ sentier des Prés⑫ rue PasteurⒹ Place de l'Églised la mairie
⑤ venelle du Chat⑬ chemin CreuxⒺ Carrefour de l'Hôpital
⑥ rue des Jardins⑭ avenue de la GareⒻ Rond-point des Vaches
⑦ rue de la Poste⑮ rue des LilasⒼ Carrefour du Lavoir
⑧ rue de la Mairie⑯ chemin du LavoirⒽ Place de la Fontaine
Ⓙ Fontaine Notre-Dame
Ⓚ Place du Marché
Ⓛ Place des Tanneurs
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516abcdABCDEFGHJKLN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKL
Nombre de rues22426442222
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 32 = 2 × 16, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 13 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il sort de la poste et remonte le chemin Creux ⑬ vers le nord jusqu'à Rond-point des Vaches (F).
  2. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑥, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (C).
  3. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ④, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église (D).
  4. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ⑧, vers le sud, jusqu'à Rond-point des Vaches (F).
  5. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑫, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (G).
  6. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑦, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare (C).
  7. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑤, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (E).
  8. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ②, vers le nord, jusqu'à Place du Vieux-Puits (A).
  9. Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ①, vers l'ouest, jusqu'à Placette des Ormes (B).
  10. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ③, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (E).
  11. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑩, vers le sud-ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (J).
  12. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑯, vers le sud-est, jusqu'à Place des Tanneurs (L).
  13. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ⑪, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (E).
  14. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑨, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (G).
  15. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ⑭, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (H).
  16. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑮, vers le sud-est, jusqu'à Place du Marché (K).
  17. Il reprend alors le chemin Creux ⑬, dont il lui restait la seconde moitié, et regagne la poste : toutes les rues ont été faites une fois et une seule.
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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