site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011121314151617abcdABCDEFGHJKLMN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue Neuve⑩ rue du PuitsⒶ Carrefour du Lavoira la poste
② venelle du Chat⑪ rue du PontⒷ Coin du Lavoirb le gymnase
③ rue Verte⑫ rue de l'ÉgliseⒸ Rond-point du Stadec l'église
④ rue des Jardins⑬ chemin CreuxⒹ Fontaine Notre-Damed le lavoir
⑤ chemin des Vignes⑭ rue HauteⒺ Place de l'Église
⑥ chemin du Lavoir⑮ rue du StadeⒻ Carrefour des Quatre-Chemins
⑦ rue de la Mairie⑯ rue des ÉcolesⒼ Place Sainte-Croix
⑧ rue de la Poste⑰ impasse des RosesⒽ Rond-point de la Gare
⑨ rue du FourⒿ Place aux Herbes
Ⓚ Place du Marché
Ⓛ Carrefour de la Mairie
Ⓜ Place du Vieux-Puits
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1234567891011121314151617abcdABCDEFGHJKLMN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLM
Nombre de rues324226242241
Paritéimpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairimpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 34 = 2 × 17, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, M — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en A, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, A et M : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en A et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de A à M. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de A :
  1. Il part de Carrefour du Lavoir (A), prend la rue Neuve ① vers l'ouest et atteint Coin du Lavoir (B).
  2. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ④, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (F).
  3. Il prend dans la rue Verte ③, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir (A).
  4. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ②, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (C).
  5. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ⑤, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (D).
  6. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (F).
  7. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ⑦, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade (C).
  8. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑥, vers le sud-est, jusqu'à Place de l'Église (E).
  9. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑨, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (H).
  10. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑩, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (F).
  11. Il tourne à gauche dans la rue du Pont ⑪, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes (J).
  12. Il tourne à gauche dans la rue Haute ⑭, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare (H).
  13. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑮, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (L).
  14. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑬, vers le nord-ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix (G).
  15. Il prend dans la rue de l'Église ⑫, vers le sud, jusqu'à Place du Marché (K).
  16. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑯, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (L).
  17. Il continue tout droit dans l'impasse des Roses ⑰, vers l'est, jusqu'à Place du Vieux-Puits (M).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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