site2wouf.fr : La tournée du jour

Les femmes préfèrent les hommes qui les prennent sans les comprendre, aux hommes qui les comprennent sans les prendre.

Marcel Prévost

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011121314abcABCDEFGHJKN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue de la Poste⑧ venelle du ChatⒶ Carrefour de l'Hôpitala la poste
② rue Haute⑨ rue des ÉcolesⒷ Coin du Lavoirb la gendarmerie
③ rue du Stade⑩ rue de la MairieⒸ Placette des Ormesc le stade
④ impasse des Roses⑪ rue des LilasⒹ Rond-point du Stade
⑤ passage du Marché⑫ rue du FourⒺ Place Sainte-Croix
⑥ sentier des Prés⑬ rue BasseⒻ Carrefour du Lavoir
⑦ rue du Puits⑭ chemin des VignesⒼ Carrefour de la Mairie
Ⓗ Place de la Fontaine
Ⓙ Rond-point de la Poste
Ⓚ Place de l'Église
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1234567891011121314abcABCDEFGHJKN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJK
Nombre de rues3124244242
Paritéimpairimpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 28 = 2 × 14, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, B — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 14 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, A et B : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste et doit y revenir : son départ et son arrivée sont le même point, et ce point n'est même pas un carrefour. C'est impossible ici.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de A à B. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de A :
  1. Il part de Carrefour de l'Hôpital (A), prend la rue de la Poste ① vers le sud-est et atteint Placette des Ormes (C).
  2. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑤, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (F).
  3. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (G).
  4. Il continue tout droit dans la rue des Lilas ⑪, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (H).
  5. Il tourne à gauche dans la rue Basse ⑬, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (J).
  6. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑨, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (F).
  7. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ⑩, vers le sud-est, jusqu'à Place de l'Église (K).
  8. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ⑭, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (J).
  9. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑫, vers le nord, jusqu'à Carrefour de la Mairie (G).
  10. Il continue tout droit dans la rue du Puits ⑦, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Stade (D).
  11. Il continue tout droit dans la rue Haute ②, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (A).
  12. Il prend dans la rue du Stade ③, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix (E).
  13. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (D).
  14. Il tourne à droite dans l'impasse des Roses ④, vers le nord-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (B).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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