site2wouf.fr : La tournée du jour

Les mathématiciens manipulent parfois de grands nombres, mais jamais dans leurs revenus.

Isaac Asimov (sur Mon tshirt!)

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415abcdABCDEFGHJKN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① chemin Creux⑨ rue des JardinsⒶ Place du Vieux-Puitsa la poste
② boulevard du Parc⑩ rue du FourⒷ Carrefour du Moulinb la salle des fêtes
③ chemin des Vignes⑪ rue VerteⒸ Carrefour des Tilleulsc la pharmacie
④ rue du Pont⑫ avenue de la GareⒹ Place des Tanneursd la mairie
⑤ quai aux Fleurs⑬ allée des TilleulsⒺ Place aux Herbes
⑥ rue du Puits⑭ rue NeuveⒻ Carrefour des Quatre-Chemins
⑦ rue de l'Église⑮ sentier des PrésⒼ Rond-point des Vaches
⑧ rue de la PosteⒽ Place de la Fontaine
Ⓙ Carrefour de l'Hôpital
Ⓚ Coin du Lavoir
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415abcdABCDEFGHJKN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJK
Nombre de rues2442244242
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 30 = 2 × 15, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en B, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Carrefour du Moulin (B), prend le chemin Creux ① vers l'est et atteint Place du Vieux-Puits (A).
  2. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ②, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (C).
  3. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ③, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (B).
  4. Il prend dans la rue du Pont ④, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (D).
  5. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑥, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (C).
  6. Il prend dans la rue de l'Église ⑦, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (F).
  7. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes (E).
  8. Il continue tout droit dans la rue des Jardins ⑨, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  9. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑫, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (J).
  10. Il tourne à gauche dans la rue Verte ⑪, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (F).
  11. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑩, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (H).
  12. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑭, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (J).
  13. Il continue tout droit dans le sentier des Prés ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (K).
  14. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑬, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  15. Il continue tout droit dans le quai aux Fleurs ⑤, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (B).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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