site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011121314abcdeABCDEFGHJN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue du Four⑧ avenue de la GareⒶ Carrefour du Lavoira la poste
② rue des Lilas⑨ rue PasteurⒷ Place de l'Égliseb le marché couvert
③ chemin du Lavoir⑩ rue NeuveⒸ Rond-point de la Postec le lavoir
④ rue de la Poste⑪ chemin des VignesⒹ Rond-point de la Gared le stade
⑤ rue du Stade⑫ rue de la MairieⒺ Rond-point du Ponte la pharmacie
⑥ rue du Pont⑬ rue VerteⒻ Placette des Ormes
⑦ quai aux Fleurs⑭ rue des ÉcolesⒼ Coin du Lavoir
Ⓗ Place Sainte-Croix
Ⓙ Place des Tanneurs
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1234567891011121314abcdeABCDEFGHJN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJ
Nombre de rues424642222
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 28 = 2 × 14, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 14 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il sort de la poste et remonte la rue des Écoles ⑭ vers l'est jusqu'à Coin du Lavoir (G).
  2. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑩, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (D).
  3. Il continue tout droit dans le chemin du Lavoir ③, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir (A).
  4. Il tourne à gauche dans la rue du Four ①, vers l'ouest, jusqu'à Place de l'Église (B).
  5. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑤, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (C).
  6. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ②, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (A).
  7. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ④, vers le sud-est, jusqu'à Placette des Ormes (F).
  8. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑨, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (D).
  9. Il continue tout droit dans la rue du Pont ⑥, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (C).
  10. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ⑦, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
  11. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑧, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare (D).
  12. Il prend dans le chemin des Vignes ⑪, vers le sud-ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix (H).
  13. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ⑫, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
  14. Il tourne à gauche dans la rue Verte ⑬, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (J).
  15. Il reprend alors la rue des Écoles ⑭, dont il lui restait la seconde moitié, et regagne la poste : toutes les rues ont été faites une fois et une seule.
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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