site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415abcABCDEFGHJKN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① passage du Marché⑨ rue du FourⒶ Carrefour Saint-Rocha la poste
② rue du Stade⑩ allée des TilleulsⒷ Place Sainte-Croixb l'école
③ rue Neuve⑪ rue des JardinsⒸ Rond-point des Vachesc la bibliothèque
④ quai aux Fleurs⑫ rue du PuitsⒹ Place aux Herbes
⑤ boulevard du Parc⑬ chemin des VignesⒺ Rond-point de la Gare
⑥ rue des Lilas⑭ rue BasseⒻ Place de l'Église
⑦ rue du Pont⑮ rue des ÉcolesⒼ Carrefour de la Mairie
⑧ rue de la PosteⒽ Rond-point de la Poste
Ⓙ Place du Vieux-Puits
Ⓚ Fontaine Notre-Dame
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415abcABCDEFGHJKN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJK
Nombre de rues3242623422
Paritéimpairpairpairpairpairpairimpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 30 = 2 × 15, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, G — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en C, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, A et G : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en C et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de A à G. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de A :
  1. Il part de Carrefour Saint-Roch (A), prend le passage du Marché ① vers le sud-ouest et atteint Place Sainte-Croix (B).
  2. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ④, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare (E).
  3. Il prend dans la rue Neuve ③, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (A).
  4. Il tourne à droite dans la rue du Stade ②, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (C).
  5. Il prend dans le boulevard du Parc ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (E).
  6. Il continue tout droit dans la rue de la Poste ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes (D).
  7. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑨, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (K).
  8. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑬, vers le nord-est, jusqu'à Place de l'Église (F).
  9. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑫, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (H).
  10. Il prend dans la rue des Jardins ⑪, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare (E).
  11. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑩, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (G).
  12. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑥, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (C).
  13. Il tourne à droite dans la rue du Pont ⑦, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (J).
  14. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (H).
  15. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑭, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (G).

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