site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718192021abcABCDEFGHJKLMPN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue du Stade⑫ boulevard du ParcⒶ Place Sainte-Croixa la poste
② rue du Moulin⑬ passage du MarchéⒷ Placette des Ormesb l'école
③ rue des Lilas⑭ chemin du LavoirⒸ Place des Tanneursc le marché couvert
④ rue de la Mairie⑮ rue PasteurⒹ Rond-point de la Poste
⑤ rue de l'Église⑯ chemin CreuxⒺ Place de l'Église
⑥ rue Basse⑰ rue du PontⒻ Carrefour des Tilleuls
⑦ rue de la Poste⑱ sentier des PrésⒼ Carrefour du Lavoir
⑧ chemin de Ronde⑲ venelle du ChatⒽ Carrefour Saint-Roch
⑨ rue Neuve⑳ avenue de la GareⒿ Carrefour des Quatre-Chemins
⑩ rue du Puits㉑ allée des PeupliersⓀ Carrefour de l'Hôpital
⑪ rue des JardinsⓁ Rond-point du Stade
Ⓜ Coin du Lavoir
Ⓟ Place du Marché
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415161718192021abcABCDEFGHJKLMPN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMP
Nombre de rues2224264444422
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 42 = 2 × 21, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en H, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Carrefour Saint-Roch (H), prend la rue du Puits ⑩ vers le nord et atteint Place de l'Église (E).
  2. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑨, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (F).
  3. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ①, vers le nord-est, jusqu'à Place Sainte-Croix (A).
  4. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ②, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Lavoir (G).
  5. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ⑪, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (F).
  6. Il continue tout droit dans la rue de la Mairie ④, vers le nord-ouest, jusqu'à Placette des Ormes (B).
  7. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ③, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (D).
  8. Il tourne à droite dans la rue de l'Église ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Place des Tanneurs (C).
  9. Il tourne à gauche dans la rue Basse ⑥, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (J).
  10. Il prend dans la rue de la Poste ⑦, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (D).
  11. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑧, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (K).
  12. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑱, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (J).
  13. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑲, vers le sud-est, jusqu'à Coin du Lavoir (M).
  14. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑳, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (K).
  15. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑯, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (H).
  16. Il continue tout droit dans le boulevard du Parc ⑫, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (F).
  17. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑬, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade (L).
  18. Il prend dans le chemin du Lavoir ⑭, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (G).
  19. Il prend dans la rue Pasteur ⑮, vers le sud, jusqu'à Place du Marché (P).
  20. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ㉑, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (L).
  21. Il continue tout droit dans la rue du Pont ⑰, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (H).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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