site2wouf.fr : La tournée du jour

Ma femme et moi avons été heureux vingt-cinq ans ; et puis, nous nous sommes rencontrés.

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011121314151617181920abcdABCDEFGHJKLMPN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue de la Poste⑪ rue NeuveⒶ Carrefour de l'Hôpitala la poste
② rue des Jardins⑫ rue des ÉcolesⒷ Place aux Herbesb le cimetière
③ avenue de la Gare⑬ rue BasseⒸ Carrefour Saint-Rochc le stade
④ rue du Stade⑭ chemin des VignesⒹ Carrefour des Tilleulsd l'école
⑤ allée des Peupliers⑮ rue PasteurⒺ Place du Vieux-Puits
⑥ rue du Four⑯ rue de l'ÉgliseⒻ Placette des Ormes
⑦ rue Haute⑰ venelle du ChatⒼ Rond-point de la Gare
⑧ quai aux Fleurs⑱ rue des LilasⒽ Rond-point de la Poste
⑨ chemin de Ronde⑲ passage du MarchéⒿ Place des Tanneurs
⑩ chemin du Lavoir⑳ allée des TilleulsⓀ Place de l'Église
Ⓛ Coin du Lavoir
Ⓜ Fontaine Notre-Dame
Ⓟ Place Sainte-Croix
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1234567891011121314151617181920abcdABCDEFGHJKLMPN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMP
Nombre de rues4246226422222
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 40 = 2 × 20, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 8 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il sort de la poste et remonte le quai aux Fleurs ⑧ vers le nord-ouest jusqu'à Carrefour Saint-Roch (C).
  2. Il continue tout droit dans la rue des Jardins ②, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (A).
  3. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ①, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes (B).
  4. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ⑤, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (D).
  5. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ③, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (A).
  6. Il tourne à droite dans la rue du Stade ④, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (E).
  7. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑨, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (D).
  8. Il continue tout droit dans le chemin du Lavoir ⑩, vers l'ouest, jusqu'à Placette des Ormes (F).
  9. Il tourne à gauche dans la rue Basse ⑬, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église (K).
  10. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑱, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (H).
  11. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑫, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (D).
  12. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑪, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Gare (G).
  13. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑥, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (C).
  14. Il prend dans la rue Haute ⑦, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (J).
  15. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑮, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (G).
  16. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑭, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (H).
  17. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ⑲, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir (L).
  18. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑯, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Gare (G).
  19. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑰, vers le sud-est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (M).
  20. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ⑳, vers l'est, jusqu'à Place Sainte-Croix (P).
  21. Il reprend alors le quai aux Fleurs ⑧, dont il lui restait la seconde moitié, et regagne la poste : toutes les rues ont été faites une fois et une seule.
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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