site2wouf.fr : La tournée du jour

Je suis content de m'être procuré le dictionnaire des synonymes, je suis satisfait d'avoir acquis le glossaire des équivalences. Mais je suis aussi réjouis de m'être offert le lexique des similitudes

Philippe Geluck. (Sur Mon tshirt!)

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456abcdABCDEN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① sentier des Prés④ quai aux FleursⒶ Place Sainte-Croixa la poste
② chemin Creux⑤ allée des TilleulsⒷ Placette des Ormesb le lavoir
③ rue du Pont⑥ passage du MarchéⒸ Place de la Fontainec l'école
Ⓓ Place des Tanneursd la boulangerie
Ⓔ Carrefour des Tilleuls
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456abcdABCDEN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDE
Nombre de rues22224
Paritépairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 12 = 2 × 6, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en E, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Carrefour des Tilleuls (E), prend le chemin Creux ② vers le nord et atteint Place Sainte-Croix (A).
  2. Il prend dans le sentier des Prés ①, vers le sud-est, jusqu'à Place des Tanneurs (D).
  3. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (E).
  4. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ④, vers le nord-ouest, jusqu'à Placette des Ormes (B).
  5. Il tourne à gauche dans la rue du Pont ③, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (C).
  6. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ⑤, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (E).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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