site2wouf.fr : La tournée du jour

Même si vous jouez la perfection, une faute de votre adversaire peut détruire toute la beauté de la partie.

Vladimir Kramnik ( Nouveau design ! )

Partager :

Facebook X (Twitter) LinkedIn Threads Bluesky Email WhatsApp

🔑 Code de cette fiche :

imprimer LaTeX
ℹ️

Besoin d'aide sur les graphes et le critère d'Euler ?

Consultez la page du catalogue pour retrouver le critère d'Euler et le raisonnement sur la parité des degrés.

📚 Voir les ressources pédagogiques

Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678abcdeABCDEFN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue des Écoles⑤ chemin des VignesⒶ Place du Marchéa la poste
② rue de la Poste⑥ rue du FourⒷ Place Sainte-Croixb la salle des fêtes
③ rue Basse⑦ boulevard du ParcⒸ Rond-point de la Garec le lavoir
④ rue des Jardins⑧ rue du PontⒹ Carrefour Saint-Rochd le stade
Ⓔ Place de l'Églisee le marché couvert
Ⓕ Place aux Herbes
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
Cahier d'exercices iParcours Maths 6e (Génération 5)

Un cahier d'exercices de 128 pages ...

Le cahier : 5,40 €

Plus de Produits

Publicité

Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678abcdeABCDEFN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEF
Nombre de rues225322
Paritépairpairimpairimpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 × 8, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : C, D — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 7 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, C et D : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste et doit y revenir : son départ et son arrivée sont le même point, et ce point n'est même pas un carrefour. C'est impossible ici.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de C à D. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de C :
  1. Il part de Rond-point de la Gare (C), prend la rue des Écoles ① vers l'est et atteint Place du Marché (A).
  2. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ②, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes (F).
  3. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑦, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (C).
  4. Il tourne à gauche dans la rue Basse ③, vers l'ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix (B).
  5. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ④, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (D).
  6. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑤, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Gare (C).
  7. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑥, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église (E).
  8. Il tourne à droite dans la rue du Pont ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (D).

Des centaines de PDF disponibles gratuitement !

Pour accéder à nos ressources gratuites, il vous suffit de sélectionner l'activité que vous désirez dans le formulaire au dessus de l'activité du jour. Ensuite, utilisez l'icône appropriée sous les liens de partage pour télécharger vos PDF.

N'oubliez pas, partager fait vivre les sites ! 😊 Merci de votre soutien !

🎓 Pour les enseignants — l'arrière-plan du problème

Ce problème est un parcours eulérien : on emprunte chaque arête une fois. Ces articles du blog vont au-delà du programme du collège : ils sont là pour préparer la séance, pas pour être donnés aux élèves.

🔗 Liens utiles

// Remarques, codes, note de version etc...

Le générateur de cette activité (html, svg, tex et pdf) est écrit en Python 3 ; les PDF sont composés avec LaTeX et les figures sont vectorielles. Mon travail est sous licence Creative commons.

N'hésitez pas à me contacter si vous detectez la moindre imperfection, ou si vous imaginez une amélioration potentielle !

Open source et gratuité n'empêchent ni les dons ni les remerciements 😉
Un euro ou deux pour m'aider à payer le serveur ? ☕ Payez-moi un café via PayPal