site2wouf.fr : La tournée du jour

La plupart des calomnies qui courent sur mon compte sont plus douces que ce que je dirais sur moi si l'on m'interrogeait.

Jean Yanne

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415abcdABCDEFGHJN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① venelle du Chat⑨ chemin CreuxⒶ Placette des Ormesa la poste
② chemin de Ronde⑩ allée des TilleulsⒷ Carrefour des Tilleulsb le cimetière
③ sentier des Prés⑪ rue du PuitsⒸ Place de la Fontainec la gendarmerie
④ avenue de la Gare⑫ rue de l'ÉgliseⒹ Carrefour des Quatre-Cheminsd la salle des fêtes
⑤ boulevard du Parc⑬ rue de la PosteⒺ Carrefour Saint-Roch
⑥ rue des Jardins⑭ rue du MoulinⒻ Rond-point des Vaches
⑦ quai aux Fleurs⑮ rue du PontⒼ Rond-point de la Poste
⑧ rue BasseⒽ Place des Tanneurs
Ⓙ Fontaine Notre-Dame
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415abcdABCDEFGHJN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJ
Nombre de rues242446422
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 30 = 2 × 15, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 5 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il sort de la poste et remonte le boulevard du Parc ⑤ vers le nord-est jusqu'à Carrefour des Tilleuls (B).
  2. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ③, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (D).
  3. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑥, vers le nord-est, jusqu'à Place de la Fontaine (C).
  4. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑦, vers le sud, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (E).
  5. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑧, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (D).
  6. Il tourne à gauche dans le chemin Creux ⑨, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (F).
  7. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ⑩, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (E).
  8. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑪, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (J).
  9. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ⑭, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (F).
  10. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑫, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (G).
  11. Il tourne à gauche dans la rue du Pont ⑮, vers le sud-est, jusqu'à Place des Tanneurs (H).
  12. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ⑬, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (F).
  13. Il continue tout droit dans l'avenue de la Gare ④, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (B).
  14. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ①, vers l'ouest, jusqu'à Placette des Ormes (A).
  15. Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ②, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste (G).
  16. Il reprend alors le boulevard du Parc ⑤, dont il lui restait la seconde moitié, et regagne la poste : toutes les rues ont été faites une fois et une seule.
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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