site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011121314151617abcdABCDEFGHJKN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue Verte⑩ chemin CreuxⒶ Coin du Lavoira la poste
② chemin des Vignes⑪ chemin du LavoirⒷ Place du Marchéb l'école
③ rue du Puits⑫ rue des LilasⒸ Carrefour des Tilleulsc la mairie
④ rue des Jardins⑬ rue des ÉcolesⒹ Place Sainte-Croixd la boulangerie
⑤ venelle du Chat⑭ chemin de RondeⒺ Rond-point du Stade
⑥ rue de la Mairie⑮ rue HauteⒻ Rond-point des Vaches
⑦ allée des Tilleuls⑯ rue du StadeⒼ Rond-point du Pont
⑧ rue du Four⑰ rue BasseⒽ Carrefour de la Mairie
⑨ sentier des PrésⒿ Rond-point de la Poste
Ⓚ Place de la Fontaine
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1234567891011121314151617abcdABCDEFGHJKN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJK
Nombre de rues2242374442
Paritépairpairpairpairimpairimpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 34 = 2 × 17, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : E, F — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en F, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, E et F : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en F et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de E à F. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de E :
  1. Il part de Rond-point du Stade (E), prend l'allée des Tilleuls ⑦ vers le nord-ouest et atteint Place Sainte-Croix (D).
  2. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑧, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (F).
  3. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ②, vers le nord, jusqu'à Coin du Lavoir (A).
  4. Il tourne à gauche dans la rue Verte ①, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (C).
  5. Il tourne à droite dans la rue du Puits ③, vers le nord-ouest, jusqu'à Place du Marché (B).
  6. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ④, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Pont (G).
  7. Il prend dans la rue de la Mairie ⑥, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (C).
  8. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑤, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (F).
  9. Il tourne à gauche dans le sentier des Prés ⑨, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (E).
  10. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑩, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (H).
  11. Il tourne à droite dans la rue des Lilas ⑫, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (F).
  12. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑪, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (G).
  13. Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ⑭, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (J).
  14. Il tourne à gauche dans la rue Haute ⑮, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (H).
  15. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑯, vers le sud-est, jusqu'à Place de la Fontaine (K).
  16. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑰, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (J).
  17. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ⑬, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches (F).

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