site2wouf.fr : La tournée du jour

Il faut beaucoup de talent pour faire rire avec des mots. Mais il faut du génie pour amuser avec des points de suspension...

Frédéric Dard

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819abcdABCDEFGHJKLMN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue des Lilas⑪ rue NeuveⒶ Place de l'Églisea la poste
② chemin de Ronde⑫ allée des PeupliersⒷ Fontaine Notre-Dameb le marché couvert
③ rue de la Poste⑬ rue des JardinsⒸ Place Sainte-Croixc l'école
④ chemin Creux⑭ rue PasteurⒹ Place des Tanneursd la pharmacie
⑤ rue des Écoles⑮ sentier des PrésⒺ Carrefour des Quatre-Chemins
⑥ avenue de la Gare⑯ passage du MarchéⒻ Carrefour de l'Hôpital
⑦ chemin des Vignes⑰ rue du PuitsⒼ Rond-point de la Poste
⑧ quai aux Fleurs⑱ rue de la MairieⒽ Coin du Lavoir
⑨ rue Haute⑲ venelle du ChatⒿ Carrefour du Lavoir
⑩ rue du StadeⓀ Placette des Ormes
Ⓛ Place du Vieux-Puits
Ⓜ Rond-point des Vaches
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516171819abcdABCDEFGHJKLMN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLM
Nombre de rues222246426224
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 38 = 2 × 19, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en M, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Rond-point des Vaches (M), prend l'allée des Peupliers ⑫ vers le nord et atteint Carrefour de l'Hôpital (F).
  2. Il tourne à droite dans le chemin Creux ④, vers le nord, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (B).
  3. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ③, vers l'ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix (C).
  4. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑤, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (F).
  5. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑦, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (E).
  6. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑥, vers le nord, jusqu'à Place des Tanneurs (D).
  7. Il tourne à droite dans la rue des Lilas ①, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église (A).
  8. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ②, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste (G).
  9. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (E).
  10. Il tourne à gauche dans la rue Haute ⑨, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Lavoir (J).
  11. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑪, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (F).
  12. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑩, vers le sud-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (H).
  13. Il tourne à gauche dans le sentier des Prés ⑮, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (M).
  14. Il tourne à gauche dans la rue de la Mairie ⑱, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (J).
  15. Il continue tout droit dans la rue des Jardins ⑬, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (G).
  16. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑭, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes (K).
  17. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑯, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (J).
  18. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑰, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (L).
  19. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑲, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (M).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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