site2wouf.fr : La tournée du jour

Celui qui peut, agit. Celui qui ne peut pas, enseigne.

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718abcdABCDEFGHJKLMN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① sentier des Prés⑩ allée des PeupliersⒶ Place du Vieux-Puitsa la poste
② rue de la Poste⑪ rue NeuveⒷ Placette des Ormesb la boulangerie
③ rue Basse⑫ chemin du LavoirⒸ Place aux Herbesc le gymnase
④ avenue de la Gare⑬ chemin CreuxⒹ Coin du Lavoird l'école
⑤ chemin de Ronde⑭ quai aux FleursⒺ Carrefour des Quatre-Chemins
⑥ passage du Marché⑮ rue HauteⒻ Rond-point du Stade
⑦ rue du Pont⑯ rue des JardinsⒼ Carrefour de la Mairie
⑧ rue du Four⑰ venelle du ChatⒽ Rond-point du Pont
⑨ rue du Stade⑱ rue des ÉcolesⒿ Place de la Fontaine
Ⓚ Fontaine Notre-Dame
Ⓛ Rond-point des Vaches
Ⓜ Place de l'Église
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415161718abcdABCDEFGHJKLMN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLM
Nombre de rues222244462242
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 36 = 2 × 18, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 1 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il sort de la poste et remonte le sentier des Prés ① vers l'ouest jusqu'à Placette des Ormes (B).
  2. Il tourne à gauche dans la rue Basse ③, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (E).
  3. Il continue tout droit dans le passage du Marché ⑥, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade (F).
  4. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑨, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (G).
  5. Il tourne à droite dans la rue du Pont ⑦, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (E).
  6. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑧, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Pont (H).
  7. Il prend dans l'allée des Peupliers ⑩, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (F).
  8. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑪, vers le sud, jusqu'à Rond-point des Vaches (L).
  9. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑬, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (G).
  10. Il prend dans le chemin du Lavoir ⑫, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (K).
  11. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑱, vers l'est, jusqu'à Rond-point des Vaches (L).
  12. Il tourne à gauche dans la rue Haute ⑮, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Pont (H).
  13. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑭, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (J).
  14. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑰, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église (M).
  15. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑯, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (H).
  16. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑤, vers le nord-est, jusqu'à Place aux Herbes (C).
  17. Il prend dans l'avenue de la Gare ④, vers l'ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (D).
  18. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ②, vers le nord, jusqu'à Place du Vieux-Puits (A).
  19. Il reprend alors le sentier des Prés ①, dont il lui restait la seconde moitié, et regagne la poste : toutes les rues ont été faites une fois et une seule.
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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