site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819202122abcdABCDEFGHJKLMPQN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue du Stade⑫ passage du MarchéⒶ Fontaine Notre-Damea la poste
② rue de la Mairie⑬ rue VerteⒷ Place de la Fontaineb la mairie
③ boulevard du Parc⑭ chemin CreuxⒸ Carrefour des Tilleulsc la pharmacie
④ rue des Écoles⑮ rue HauteⒹ Place du Vieux-Puitsd le gymnase
⑤ allée des Tilleuls⑯ rue NeuveⒺ Carrefour du Moulin
⑥ avenue de la Gare⑰ rue des LilasⒻ Rond-point de la Poste
⑦ rue Basse⑱ rue de l'ÉgliseⒼ Place aux Herbes
⑧ rue du Four⑲ venelle du ChatⒽ Place de l'Église
⑨ chemin des Vignes⑳ sentier des PrésⒿ Carrefour de la Mairie
⑩ rue du Puits㉑ chemin du LavoirⓀ Rond-point du Pont
⑪ allée des Peupliers㉒ rue PasteurⓁ Coin du Lavoir
Ⓜ Carrefour du Lavoir
Ⓟ Place Sainte-Croix
Ⓠ Placette des Ormes
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516171819202122abcdABCDEFGHJKLMPQN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMPQ
Nombre de rues22424622642422
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 44 = 2 × 22, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 13 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il sort de la poste et remonte la rue Verte ⑬ vers le nord jusqu'à Rond-point de la Poste (F).
  2. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ⑪, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes (G).
  3. Il tourne à gauche dans le chemin Creux ⑭, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Pont (K).
  4. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑲, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (M).
  5. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ㉒, vers l'ouest, jusqu'à Placette des Ormes (Q).
  6. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑳, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (K).
  7. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑫, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (F).
  8. Il continue tout droit dans la rue des Écoles ④, vers le nord, jusqu'à Place de la Fontaine (B).
  9. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ③, vers l'ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits (D).
  10. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑧, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (F).
  11. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑥, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (C).
  12. Il continue tout droit dans la rue du Stade ①, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (A).
  13. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ②, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (E).
  14. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑤, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (C).
  15. Il tourne à gauche dans la rue Basse ⑦, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie (J).
  16. Il prend dans la rue du Puits ⑩, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (E).
  17. Il prend dans le chemin des Vignes ⑨, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église (H).
  18. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (J).
  19. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑯, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir (L).
  20. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ㉑, vers l'est, jusqu'à Place Sainte-Croix (P).
  21. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑱, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (J).
  22. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑰, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (M).
  23. Il reprend alors la rue Verte ⑬, dont il lui restait la seconde moitié, et regagne la poste : toutes les rues ont été faites une fois et une seule.
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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