site2wouf.fr : La tournée du jour

La mort semble bien moins terrible, quand on est fatigué.

Simone de Beauvoir

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011121314151617181920212223abcdeABCDEFGHJKLMPN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue de la Mairie⑬ chemin CreuxⒶ Rond-point du Ponta la poste
② rue Haute⑭ passage du MarchéⒷ Place de la Fontaineb la pharmacie
③ chemin du Lavoir⑮ quai aux FleursⒸ Fontaine Notre-Damec le stade
④ chemin des Vignes⑯ chemin de RondeⒹ Carrefour des Quatre-Cheminsd l'école
⑤ rue des Écoles⑰ avenue de la GareⒺ Carrefour des Tilleulse le cimetière
⑥ rue des Lilas⑱ rue de la PosteⒻ Carrefour Saint-Roch
⑦ rue Neuve⑲ allée des PeupliersⒼ Rond-point des Vaches
⑧ rue du Pont⑳ rue des JardinsⒽ Rond-point de la Poste
⑨ rue Basse㉑ rue du PuitsⒿ Carrefour de l'Hôpital
⑩ venelle du Chat㉒ rue de l'ÉgliseⓀ Carrefour de la Mairie
⑪ allée des Tilleuls㉓ rue VerteⓁ Place aux Herbes
⑫ rue du FourⓂ Place des Tanneurs
Ⓟ Carrefour du Lavoir
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1234567891011121314151617181920212223abcdeABCDEFGHJKLMPN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMP
Nombre de rues4223464454224
Paritépairpairpairimpairpairpairpairpairimpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 46 = 2 × 23, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : D, J — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en J, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, D et J : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en J et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de D à J. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de D :
  1. Il part de Carrefour des Quatre-Chemins (D), prend la rue Haute ② vers l'ouest et atteint Rond-point du Pont (A).
  2. Il continue tout droit dans la rue de la Mairie ①, vers l'ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (C).
  3. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑦, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  4. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑩, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (E).
  5. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ③, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (A).
  6. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ④, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (F).
  7. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑥, vers le nord-est, jusqu'à Place de la Fontaine (B).
  8. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (D).
  9. Il tourne à gauche dans la rue du Pont ⑧, vers le sud, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (F).
  10. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑨, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (E).
  11. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ⑪, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (J).
  12. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑫, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (F).
  13. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑬, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes (L).
  14. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ⑳, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (J).
  15. Il continue tout droit dans l'allée des Peupliers ⑲, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (K).
  16. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑮, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  17. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ⑭, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (H).
  18. Il prend dans le chemin de Ronde ⑯, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (K).
  19. Il tourne à droite dans la rue de l'Église ㉒, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Lavoir (P).
  20. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑱, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (H).
  21. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑰, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (M).
  22. Il tourne à gauche dans la rue Verte ㉓, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (P).
  23. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ㉑, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (J).

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