site2wouf.fr : La tournée du jour

Le plus beau compliment que je puisse faire à une femme est de lui dire : je suis aussi bien avec toi que si j'étais tout seul.

Jean Yanne

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718192021abcABCDEFGHJKLMPN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① avenue de la Gare⑫ boulevard du ParcⒶ Carrefour de la Mairiea la poste
② rue Haute⑬ rue de la MairieⒷ Fontaine Notre-Dameb l'école
③ allée des Peupliers⑭ rue du PontⒸ Carrefour des Quatre-Cheminsc la pharmacie
④ sentier des Prés⑮ rue NeuveⒹ Carrefour Saint-Roch
⑤ rue Verte⑯ chemin de RondeⒺ Rond-point des Vaches
⑥ rue du Moulin⑰ chemin CreuxⒻ Carrefour des Tilleuls
⑦ rue du Stade⑱ rue du FourⒼ Placette des Ormes
⑧ rue des Jardins⑲ allée des TilleulsⒽ Carrefour du Moulin
⑨ venelle du Chat⑳ rue du PuitsⒿ Place Sainte-Croix
⑩ chemin du Lavoir㉑ quai aux FleursⓀ Carrefour de l'Hôpital
⑪ passage du MarchéⓁ Carrefour du Lavoir
Ⓜ Place de la Fontaine
Ⓟ Place de l'Église
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415161718192021abcABCDEFGHJKLMPN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMP
Nombre de rues4244442424422
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 42 = 2 × 21, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 1 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il sort de la poste et remonte l'avenue de la Gare ① vers l'ouest jusqu'à Fontaine Notre-Dame (B).
  2. Il tourne à gauche dans la rue Verte ⑤, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (E).
  3. Il tourne à gauche dans le sentier des Prés ④, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (A).
  4. Il tourne à droite dans la rue Haute ②, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (C).
  5. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ⑥, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (D).
  6. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑨, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (F).
  7. Il prend dans la rue des Jardins ⑧, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (C).
  8. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑦, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (E).
  9. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ⑪, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (H).
  10. Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ⑯, vers l'est, jusqu'à Place Sainte-Croix (J).
  11. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑲, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Lavoir (L).
  12. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑰, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (H).
  13. Il prend dans la rue du Four ⑱, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (M).
  14. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ㉑, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (L).
  15. Il tourne à gauche dans la rue de la Mairie ⑬, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (F).
  16. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑫, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (K).
  17. Il continue tout droit dans la rue du Pont ⑭, vers l'est, jusqu'à Placette des Ormes (G).
  18. Il prend dans la rue Neuve ⑮, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de l'Église (P).
  19. Il prend dans la rue du Puits ⑳, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (K).
  20. Il continue tout droit dans le chemin du Lavoir ⑩, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (D).
  21. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ③, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (A).
  22. Il reprend alors l'avenue de la Gare ①, dont il lui restait la seconde moitié, et regagne la poste : toutes les rues ont été faites une fois et une seule.
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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